FFT解析基礎用語集「サ行」
(1)平均値（MEAN）
(2)実効値（RMS）
(3)標準偏差（S.D.）
平均値のまわりの2次モーメントは分散といわれ、分散の平方根を標準偏差といいます。直流成分を除く信号の実効値と標準偏差は同一です。以下の式により求めています。
(1)、(2)、(3)の関係式は次のようになります。
(4)スキューネス（SKEWNESS）
平均値のまわりの3次モーメントをσ3で正規化したもので、平均値のまわりの非対称性を示す指標として用いられています。以下の式により求めています。
(5)クルトシス（KURTOSIS）
平均値のまわりの4次モーメントをσ4で正規化したもので、波形の尖鋭度を表す指標です。以下の式により求めています。正規分布（ガウス分布）の時間信号でのクルトシスの値は3となるので、以下の式から3を引いた値をクルトシスとすることもあります。
信号の2乗平均値の平方根です。英語では root mean square (rms)です。
計算式は
サイン波では、実効値はピーク値の1/√2になります。パワースペクトルの各ラインのデータはその帯域の信号の実効値 の2乗、すなわち2乗平均値になります。
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図1
電圧が100 V、抵抗値が100Ωの場合に発生するエネルギー（熱）を考えてみると、抵抗に流れる電流はオームの法則；
から、I = E/R = 100 / 100 = 1 (A)となり、また、電力 W は、W = E × I = 100 × 1 = 100 (W) になります。いちいち電流を計算するのは面倒なので、一般的には、I = E/R より；
が良く用いられます。100 Ω の電熱器に 100 V をかけると 100 W 分の熱が発生することが分かりました。ところで、家庭用の電源は、実効値 100 V ですが、直流ではなく、関東では 50 Hz の交流（正弦波）です。この家庭用電源に 100 Ω の電熱器を接続すると何 W 分の熱が発生するのでしょうか？
答えは、100 W です。つまり、”実効値とは同じ仕事をする直流電圧に置き換えたもの”なのです。では、同じ電熱器を AC 200 V で使用したらば何 W を発生させるでしょう？＜実際にはこんなことをしたら電熱器が壊れてしまうでしょうが＞
AC 200 V は、DC 200 V と同じパワーを持っているので、DC 200 V として考えると、2002／100 = 400 W となり、200 W にはなりません。これは、”電圧が 2 倍になると電流も 2 倍になり、電力は 22 の 4 倍になる”ためです。では、次の図 2 の実効値はどうなるでしょう？
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図2
単純に絶対値を平均すれば 1.5 V ですが、実際に発生する電力を考えてみましょう。抵抗値が 100 Ω では計算が面倒なので 1 Ω で考えます。1 V の時と 2 V の時に発生する電力は以下の式になりますが、抵抗 1 Ω を省略しても結果は変わりません。
電圧の 2 乗したものは、1 Ω の抵抗に発生するパワー（電力）になります。電圧、電流を 2 乗したものを見たらパワーだなと思ってください。（1 Ω の場合、電圧と電流は等しくなるので、式 2 から電流の 2 乗もパワーになります）
平均電力は、1 W の区間が 1/2 と 4 W の区間が 1/2 ですから 2.5 W になります。つまり、この波形は、1 Ω の抵抗に 2.5 W の電力を発生させる DC 電圧と同じパワーを持っていることになります。
となり、実効値は 1.58 V であることがわかります。
実効値はパワーの平均をルートしたもの。言い換えると、実効値はルートした 2 乗の平均のことで、これを英語では 「root mean square」といい、特に実効値であることを強調したい場合には、単語の頭文字をとって「rms」と表記します。
正弦波の実効値はピーク値の 1/√2 = 0.707、ですから家庭用の 100 V 電源の波形は、下図 3 のようにピーク値が実効値の √2 倍の 141 V になっています。（ちなみに、平均値は 2/π = 0.637 です）
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図3
再び、この電源に 100 Ω の電熱器を繋げてみましょう。そうすると、最大電力は；
から、200 W になります。最小電力は 0 W であることは明らかですので、発生する電力は 0 W と 200 W の間を往ったり来たりすることは容易に想像できます。この様子を図示したのが、下図 4 です。この時の平均値は、100 W であることは明らかでしょう。
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図4
周波数応答関数（伝達関数）は、電気系や、構造物の振動伝達系などの入力と出力との関係を表したもので、入力のフーリエスペクトル A(ƒ) と出力のフーリエスペクトル B(ƒ) の比で表されます。
すなわち、周波数応答関数 H(ƒ) は
本器では、上式右辺の分母、分子に A(ƒ) の複素共役 A*(ƒ) をかけて、次式のように計算をしています。
分母の A(ƒ) × A*(ƒ) は A(ƒ) のパワースペクトル、分子の B(ƒ) × A*(ƒ) は A(ƒ) と B(ƒ) のクロススペクトルです。このことから周波数応答関数 H(ƒ) は入出力のクロススペクトルを入力のパワースペクトルで割算して求めることができます。
次の計算方法でも、周波数応答関数を推定することができます。
出力信号 b (t) に多くの外部雑音のある場合に、平均化によりランダムエラーを最小化可能
非線形系の場合、ランダム信号を使用して平均化により線形化可能（最小二乗近似）
入力信号 a(t) に多くの外部雑音のある場合に、平均化によりランダムエラーを最小化可能
共振点にリーケージエラーが考えられる場合、バイアスエラーを少なくすることが可能
いま、真の伝達関数を Ht(ƒ) とすると、入力と出力の両方に雑音が多い場合は、
の関係になります。（ただし、系は線形系であるとします。） また、位相に関しては、 とも同じくクロススペクトル の位相と等しくなります。
コヒーレンス関数との関係は
となります。γ2 は H2 と H1 との比となります。入出力のパワースペクトルの比（伝達特性）を | Ha(ƒ) |2 とすると
ですから、
あるいは対数をとって
となります。すなわち、H1 と H2 とのゲインの対数値の平均は、周波数応答特性 Ha の対数値と等しくなります。
周波数応答関数は、ゲイン特性と位相特性で表されます。ゲイン特性は、系を信号が通過することによって振幅がどう変化するかを表すもので、X軸は周波数、Y軸は 20log10 H(ƒ) のデシベル（入力に対する出力の振幅比）で表示されます。また、位相特性は入力信号と出力信号との間での位相の進み、遅れを表すもので、X軸は周波数、Y軸は度またはラジアンで表示されます。
周波数軸での微分演算は、パワースペクトルでは(ω)n、周波数応答関数では(jω)nを乗算することにより行われます。
(j は虚数単位、ω＝2πｆ)
(注意1)パワースペクトルで、一階微分がωの2乗で二階微分がωの4乗なのは、パワー値だからです。
(注意2)周波数応答関数は複素数演算だから虚数単位jも乗算されます。
周波数軸での積分演算は、パワースペクトルでは(ω)n、周波数応答関数では(jω)nで除算することにより行われます。
(j は虚数単位、ω＝2πｆ)
(注意1)パワースペクトルで、一重積分がωの2乗で二重積分がωの4乗なのは、パワー値だからです。
(注意2)周波数応答関数は複素数演算だから虚数単位jも除算されます。
自己相関関数は、波形 x(t)とそれを τ だけずらした波形 x (t＋τ )を用いたずらし量 τ の関数で、次式のように定義されます。
自己相関関数は波形の周期を調べるのに有効です。自己相関関数は τ＝0 すなわち自身の積をとったときに最大値となり、波形が周期的ならば、自己相関関数も同じ周期でピークを示します。また、不規則信号では、変動がゆっくりならば τ が大きいところで高い値となり、細かく変動するときはτが小さいところで高い値を示して、τ は変動の時間的な目安となります。
パワースペクトルの逆フーリエ変換により自己相関関数を求めています。
相互相関関数は2つの信号のうち一方の波形をτだけ遅延させたときのずらし量 τ の関数で、次式のように定義されます。
相互相関関数は2信号間の類似度や時間遅れの測定に利用されます。もし、2信号が完全に異なっているならば、τ に関わらず相互相関関数は0に近づきます。2つの信号が、ある系の入力、出力に対応するものであるときに、その系の持つ時間遅れの推定や、外部雑音に埋もれた信号の存在の検出および信号の伝播径路の決定などに用いられます。
クロススペクトルの逆フーリエ変換により求めています。