基礎からの周波数分析（10）－「離散フーリエ変換（DFT)その2」

前回、高速フーリエ変換（FFT）について説明しましたが、FFTは離散フーリエ変換（DFT）を単に高速に演算する算法に過ぎないので、今回は引き続きDFTのいろんな性質に関してお話しします。なお、今後の説明でDFT演算は、FFTを使っていることを前提とします。

前々回（基礎からの周波数分析（8)　「離散フーリエ変換（DFT）」）で説明したように、N点の時間信号xnをDFTすることにより、同じくN点の周波数関数Xkが得られます。さらに、時間信号と周波数関数 の両方とも、N点を1周期とする周期的な関数となります（図1参照）。

DFTの定義式を再掲します。

................................（1）

ここで、n=0,1,...,N-1、k=0,1,..., 1 ,N-1

複素フーリエ級数で説明したように、フーリエ変換すると正負の周波数が現れますが、DFTでは、図で明らかなように、点の後半は負の周波数に相当します。周波数関数X_kをX(k)と書くと；

X(N-k)= X*(k)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　................................（2）
ここで、* は複素共役を表す

式（2）の証明は、x_n は実数ですから；

すなわち、周波数関数 X_k の複素数データ列は、k = N/2 に関して実数部は線対称、虚数部
は点対称、あるいは、k = N/2 に関して、絶対値が同じで位相は符号だけが逆となります
（図1 の下の図は、絶対値を表していることに注意してください）。

「時間信号のサンプリング」（emm 136 号）でのサンプリング定理でも理解できるように、
N点の時間データから、N/2 点の複素数の周波数データが得られることになります。
図2 は、N = 64 点の時間データをDFT（FFT）することにより、同じくN点の周波数デ
ータ（複素数）が得られ、正の周波数と負の周波数のデータ並びを表しています。

実際の DFT の計算方法ですが、式（1）において時間関数x_n は複素数データとして扱われ、
通常時間データは実数なので虚数部に0 データを付加してN 点の複素数時間データに変換
して演算を実行しています。

これらの DFT に関する機能や性質を利用して、2ch の実数時間データを1 回のDFT（FFT）
で効率よく演算処理する方法を紹介します。

2 つのN 点の実数時間関数x (n)とy (n)に対して以下の複素数時間関数z (n)を定義します。

................................（3）

式（3）の右辺のDFT は、その線形性の性質より；

.................................（4）

実際の計算で得られた DFT の結果を；

.................................（5）

とすると、式（4）と式（5）を比較して

.................................（6）

.................................（7）

となることが分かります。

時間関数 x (n)とy (n)はともに実数なので、それらの周波数データは式（2）の複素共役の関係が成り立ちますので、式（6）から；

また、式（7）から；

この結果より、時間関数 x (n)のDFT X (k)は；

................................（8）

ここで、k=0, 1,…, N / 2

また、時間関数 y (n)のDFT Y (k)は；

.................................（9）

ここで、k=0, 1, …, N / 2

となります。

このように、FFT 演算した後に最後に式（8）と式（9）の演算をすることにより、2ch の時
間関数のDFT を1 回のFFT で実行することが出来ます。また、これから、N 点の複素数時
間データから、同じくN 点の有効な複素数周波数データが得られることが理解できます。

さらに、2N 点の1ch 時間データを前半と後半（あるいは偶数値と奇数値）部分に分解して
それを実数部と虚数部とみなしてN 点の複素数時間データとして、2N 点の時間データの
DFT を1回のN 点FFT で求める方法もあります。

次回は、DFT を使って、FFT アナライザでは、どのように周波数軸上の関数を計算してい
るかをご説明します。

最後に、まとめです。

1. N 点の時間信号x_n をDFT することにより、同じくN 点の周波数関数X_k が得られ、時間信号x_n と周波数関数X_k の両方とも、N 点を1周期とする周期的な関数となります。
2. DFT では、N 点の周波数データのうち、前半が正の周波数領域で後半が負の周波
   数領域となります。
3. 周波数関数X_k の複素数データ列は、k = N/2 に関して実数部は線対称、虚数
   部は点対称、あるいは、k = N/2 に関して、絶対値が同じで位相は符号だけ
   が逆となります
4. DFT の性質を利用して、2ch の実数時間データを1 回でFFT する方法や1ch
   の2N 点の時間データを1 回のN 点FFT で求める方法など、効率的な演算が
   可能です。

【キーワード】
DFT（離散フーリエ変換）、FFT（高速フーリエ変換）、複素共役、サンプリング定理

【参考資料】

1. 「高速フーリエ変換」E. ORAN BRIGHAM 著 科学技術出版社
2. 「ディジタルフーリエ解析（I）－基礎編－」城戸健一著 コロナ社

(2013年7月19日発行メールマガジンより抜粋)