来自基础的频率分析 (10) -“离散傅里叶变换 (DFT) 第2部分”

上次我们讨论了快速傅里叶变换 (FFT)，但由于FFT只是一个快速计算离散傅里叶变换 (DFT) 的算法，这次我们将继续讨论DFT的各种性质。在下面的说明中，假设DFT操作使用FFT。

正如上一篇文章 (根据基础的频率分析 (8)，"离散傅里叶变换 (DFT) ") 所述，对N点的时间信号xn进行DFT计算也可以得到N点的频率函数Xk。此外，时间信号和频率函数都是以N点为一个周期的周期函数 (参见图1) 。

重新列出DFT表达式。

................................（1）

其中n=0、1、...、N-1、k=0、1、...、1、N-1

如复傅立叶级数中所述，傅立叶变换产生正负频率，而在DFT中，第二个点对应于负频率，如图所示。频率函数X _k写成X (k);

X (N-k) =X* (k) ................................ (2)
其中*表示复共轭

因为x _n是实数，所以公式 (2) 的证明;

即，对于频率函数X _k的复数数据列，对于k=N/2,实数部分是线对称的，虚数部分
是点对称的，或者对于k=N/2,绝对值相同，相位只有符号相反
(请注意，图1下图显示的是绝对值)。

从“时间信号采样” (emm 136) 中的采样定理可以理解，
N点的时间数据得到N/2点的复数频率数据。
图2通过对N=64点的时间数据进行DFT (FFT)，同样地对N点的频率数据进行DFT () 。
得到一个复数，表示正频率和负频率的数据序列。

关于实际的DFT计算方法，式 (1) 中时间函数x _n作为复数数据处理，
通常时间数据为实数，因此在虚数部分附加0数据，转换为N点的复数时间数据
后执行运算。

我们将向您展示如何利用DFT的这些功能和特性，通过单个DFT (FFT)
高效处理2ch实数时间数据。

为两个N点的实数时间函数x (n) 和y (n) 定义以下复数时间函数z (n) :。

................................（3）

式 (3) 右边的DFT根据其线形性的性质;

.................................（4）

将实际计算得到的DFT结果;

.................................（5）

,则比较公式 (4) 和公式 (5)

.................................（6）

.................................（7）

你可以看到。

因为时间函数x (n) 和y (n) 都是实数，所以它们的频率数据与式 (2) 的复共轭关系成立。;

此外，从公式 (7);

结果表明，时间函数x (n) 的DFT X (k);

................................（8）

其中k=0,1, ..., N/2

时间函数y (n) 的DFT Y (k);

.................................（9）

其中k=0,1, ..., N/2

按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。

像这样，FFT演算后，最后进行公式 (8) 和公式 (9) 的演算，2ch时
间函数的DFT可以通过1次FFT执行。还可以理解，从N点的复数时
间数据，同样可以得到N点的有效复数频率数据。

另外，也有将2N点的1ch时间数据分解为前半部分和后半部分 (或偶数值和奇数值)
将其看作实数部分和虚数部分，作为N点的复数时间数据，通过1次N点FFT求出2N点的时间数据的
DFT的方法。

下一次，使用DFT, FFT分析器是如何计算频率轴上的函数的。
我来说明一下。

最后，总结一下。

通过对N点的时间信号x _n进行DFT,同样得到N点的频率函数X _k，时间信号x _n和频率函数X _k都是以N点为一个周期的周期性函数。
在DFT中，N点频率数据的前半部分是正频率区域，后半部分是负频率
数区域。
频率函数X _k中的复数数据列，对于k=N/2,实数部分为线性对称，虚数
部分是点对称的，或关于k=N/2,绝对值相同，相位只有符号。
,来对图层特性管理器中的更改进行分组。
利用DFT的性质，一次对2ch的实数时间数据进行FFT的方法和1ch的方法
的2N点的时间数据通过1次的N点FFT求出的方法等，高效的演算
可以。

【关键词】
DFT (离散傅立叶变换)、FFT (快速傅立叶变换)、复共轭、采样定理

【参考资料】

(摘自2013年7月19日发行的电子邮件杂志)

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