基礎からの周波数分析（6）－「フーリエ変換と畳み込み」

今回は、時間と周波数の間の関係を表現するフーリエ変換の重要な性質の1つである「畳み込み」に関してお話しします。

時間信号x(t)とh(t)との畳み込み（convolution）は2つの関数の積和演算で、式（1）で定義されます。また、積分で表現するので、畳み込み積分（convolution integral）とも呼ばれます。

　　　　　　　　　　　=x(t)*h(t)

式（2）は、式（1）の積分を簡素化して表現した形です。

畳み込みの具体的な例として、フィルタなどの電気回路のような線形系（図1）において、x(t)を入力時間信号、h(t)をその系の特性を表す時間関数とすると、系の出力は式（1）のy(t)となります。

ここで、系の特性h(t)が図2のような関数の系に、ステップ1の信号x(t)を入力した場合に、出力y(t)がどうなるか調べてみます。

畳み込み積分式（1）の手順は、h(τ)の時間軸を折り返して（図a）、それを時間軸の正方向へ推移させて（図b）、x(τ)と乗算をして（図c）、積分を行うことにより、最終的に図3の(d)が出力y(t)となります。

実際に式（1）から計算してみると；

となることが分かります。

また、説明は省略しますが、式（1）でx(t)とh(t)を交換した計算式でも同様な結果となります。

すなわち；

次に、図1の線形系に単位インパルス関数（前回出てきたデルタ関数）を入力した場合を考えます。

式（4）において、x(t)にデルタ関数δ(t)を代入して、デルタ関数の性質と偶関数であることを利用して；

；と、出力信号y(t)はh(t)そのものとなります。

図1の線形系におけるh(t)は、系に単位インパルス関数を入力した出力ですので、インパルス応答と呼ばれます。

この畳み込みとフーリエ変換との最も重要な関係について述べます。

図4のように、時間関数x(t)、h(t)、y(t)のフーリエ変換をそれぞれX(f)、H(f)、Y(f)とします。時間軸上で畳み込みの関係のある関数は、周波数軸上でどのような関係となるか考えてみましょう。

式（1）の両辺をフーリエ変換すると；

時間関数h(t)を－τだけ時間推移した関数のフーリエ変換は、元の関数のフーリエ変換とe^-j2πftとの積に等しいので、[　]内はe^-j2πftH(f)とおけるので、式（8）は;

2つの関数x(t)とh(t)の畳み込みy(t)のフーリエ変換は、元の関数のフーリエ変換の積に等しくなります。この関係を畳み込み定理（convolution theorem）と呼びます。逆も成り立ちますので、でフーリエ変換と逆フーリエ変換を表すとすると、式（10）のようなフーリエ変換対となります。

　　　　　　x(t)*h(t)=X(f)H(f)

後述することになりますが、FFTアナライザではこの関係を利用して、周波数応答関数やインパルス応答などを算出しています。

全く同様にして、周波数軸上での2つの関数の畳み込みの逆フーリエ変換は、元の時間関数の積に等しくなります。式（10）と同じ表記をすると；

　　　　　　x(t)*h(t)=X(f)*H(f)

これは、フーリエ変換演算の対称性により、明らかでしょう。式（11）を、周波数畳み込み定理（frequency convolution theorem）と呼ぶことがあります。

この関係は、FFTアナライザにおける窓関数などの説明において重要な定理です。

最後に、式（11）において、2つの時間関数を両方ともx(t)とおくと、左側はx²(t)のフーリエ変換となるので、新変数をkとすると；

となります。ここで、k = 0とおくと、結局；

の関係が得られます。この関係をパーセバルの定理（Parseval’s theorem）と呼びます。式（13）の物理的な意味は、時間軸上の全エネルギーは、周波軸上の全エネルギーに等しいという当たり前のことを言っています。その意味で、|x(f)|² fXはエネルギースペクトルと呼ぶことができます。

1. 2つの時間関数の畳み込み積分は、式（1）または式（3）で定義されます。
2. インパルス応答h(t)の線形系にx(t)を入力すると、その出力はh(t)とx(t)との畳み込みとなります。
3. 2つの関数x(t)とh(t)の畳み込みy(t)のフーリエ変換は、元の関数のフーリエ変換の積に等しくなります。［畳み込み定理（式（10））］
4. 周波数軸上での2つの関数の畳み込みの逆フーリエ変換は、元の時間関数の積に等しくなります。［周波数畳み込み定理（式（11））］
5. 時間軸上の全エネルギーは、周波軸上の全エネルギーに等しくなります。 ［パーセバルの定理（式（13））］

【キーワード】
畳み込み（convolution）、畳み込み積分（convolution integral）、線形系、単位インパルス関数、デルタ関数、インパルス応答、畳み込み定理（convolution theorem）、周波数畳み込み定理（frequency convolution theorem）、パーセバルの定理（Parseval’s theorem）、エネルギースペクトル

------------------------------------------

1. 「スペクトル解析」日野幹雄著 朝倉書店
2. 「高速フーリエ変換」E. ORAN BRIGHAM著 科学技術出版社
3. 「フーリエ解析」H.P.スウ著 佐藤平八訳 森北出版

(2012年11月15日発行メールマガジンより抜粋)