在这里，我将讨论傅里叶变换的一个重要属性“卷积”，它表示时间和频率之间的关系。
时间信号x (t) 和h (t) 之间的卷积(convolution) 是由表达式 (1) 定义的两个函数的乘积和运算。也称为卷积积分(convolution integral)，因为它以积分表示。
=x(t)*h(t)
公式 (2) 是公式 (1) 积分的简化形式。
作为卷积的具体示例，在诸如滤波器之类的电路的线性系统 (图1) 中，假设x (t) 是输入时间信号并且h (t) 是表示该系统特性的时间函数，则系统的输出是表达式 (1) 中的y (t) 。
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图1线性系统
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图2向线性系统输入信号时
现在，让我们来看看如果将步骤1中的信号x (t) 输入到具有系统特性h (t) 的函数系统 (如图2所示)，输出y (t) 会发生什么。
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图3卷积积分顺序的说明(上图是t=t’时的图)
卷积积分式 (1) 的步骤为，折返h (τ) 的时间轴 (图a)，使其向时间轴的正方向推移 (图b)，与x (τ) 进行乘法运算 (图c)，通过进行积分，最终图3的 (d) 为输出y (t) 。
实际上，如果你用公式 (1) 来计算，;
你可以看到。
此外，将x (t) 和h (t) 交换到表达式 (1) 中的表达式也会产生类似的结果，但此处不作说明。
也就是说;
假设在图1的线性系统中输入单位冲量函数 (上一个Delta函数) 。
式 (4) 中，将δ函数δ (t) 代入x (t)，利用δ函数的性质和偶函数;
;，输出信号y (t) 变为h (t) 本身。
在图1的线性系统中，h (t) 称为冲激响应，因为它是将单位冲激函数输入系统的输出。
我们将讨论卷积与傅里叶变换之间最重要的关系。
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图4线性系统中的时间函数及其傅立叶变换
如图4所示，设时间函数x (t)、h (t) 和y (t) 的傅里叶变换分别为X (f)、H (f) 和Y (f) 。让我们考虑一下在时间轴上与卷积相关的函数在频率轴上的关系。
将公式 (1) 的两边进行傅立叶变换;
对时间函数h (t) 进行-τ时间推移后的函数的傅立叶变换，由于与原函数的傅立叶变换与e-j2πft的乘积相等，因此在 [] 内有e-j2πft H (f)，式 (8);
x (t) 和h (t) 两个函数的卷积y (t) 的傅立叶变换等于原始函数的傅立叶变换的乘积。此关系称为卷积定理。反之亦然，若⇔表示傅立叶变换和逆傅立叶变换，则得到公式 (10) 所示的傅立叶变换对。
x(t)*h(t)=X(f)H(f)
FFT分析器使用此关系计算频率响应函数、脉冲响应等，如下所述。
同样，两个函数在频率轴上的卷积的逆傅里叶变换等于原始时间函数的乘积。与公式 (10) 相同;
x(t)*h(t)=X(f)*H(f)
由于傅里叶变换操作的对称性，这很明显。公式 (11) 有时称为频率卷积定理。
此关系是解释窗口函数和其他FFT分析器的重要定理。
最后，式 (11) 中2个时间函数都设为x (t) 时，左侧为x 2 (t) 的傅立叶变换，因此设新变量为k时;
按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。如果k=0,那么最终;
中所述修改相应参数的值。这种关系称为珀色定理 (Parseval’s theorem) 。方程 (13) 的物理意义表明，时间轴上的总能量等于频率轴上的总能量。从这个意义上说，|x (f) | 2 fX可以称为能谱。
最后，总结一下。- 两个时间函数的卷积积分由表达式 (1) 或表达式 (3) 定义。
- 如果输入x (t) 作为脉冲响应h (t) 的线性系统，则输出是h (t) 和x (t) 的卷积。
- x (t) 和h (t) 两个函数的卷积y (t) 的傅立叶变换等于原始函数的傅立叶变换的乘积。[卷积定理 (公式 (10) ) ]
- 两个函数在频率轴上的卷积的逆傅里叶变换等于原始时间函数的乘积。[频率卷积定理 (公式 (11) ) ]
- 时间轴上的总能量等于频率轴上的总能量。[珀色定理 (公式 (13) ) ]
【关键词】
卷积 (convolution)、卷积积分 (convolution integral)、线性系统、单位冲激函数、δ函数、冲激响应、卷积定理、频率卷积定理、帕塞瓦尔定理、能谱
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【参考资料】- “光谱分析”日野干雄着朝仓书店
- “快速傅立叶变换”E.ORAN BRIGHAM著科学技术出版社
- “傅立叶分析”H.P.Suu着佐藤平八译森北出版
(摘自2012年11月15日发行的电子邮件杂志)
