（3）固有振動数と減衰定数
固有周波数、減衰定数がわかると、解の式の形がわかっているので、それぞれの係数にあてはめると解が得られます。
今回は前号の逆をたどって、この様子を見ていきましょう。
前号基本式の （3）、（4）、（4’）式と例題 （5）、（13）、（13’）式を次にまとめました。（一部追加）
ζ≪1では
x''＋2ζωox'＋ωo^2x＝0 ・・・・・・・・・・・ （3）
x＝e^(-ζωot)｛Ccos(√1-ζ^2*ωot)+Dsin(√1-ζ^2*ωot)｝
＝Ae^（-ζωot）cos(√1-ζ^2*ωot−Φ) ・・・・・ ・・ （4）
ωn＝√1-ζ^2*ωo≒ωo
Φ＝tan-1（D/C）
A C Dは初期条件で決まる定数
x＝Ae^（-ζωot）cos(ωot-Φ） ・・・・・・ （4’）
x''＋2x'＋400x＝0 ・・・・・・・・・・ （5）
x＝e^-t｛cos20t＋1/20*sin20t｝ ・・・・・・・・・・ （13）
＝1.0012e^-tcos（20t-Φ） ・・・・・・・・・・ （13’）
Φ＝tan^-1（1/20/1）＝tan-1（1/20）
それぞれの係数を比べてみましょう。
固有振動数ωo、減衰定数ζは
ωo^2＝400
2ζωo＝2
より
固有周波数： ωo＝2πfo＝20
fo≒3.2 （Hz）
減衰定数 ： ζ＝1/20＝0.05
減衰自由振動周波数：ωn≒ωo
（3-1）例題
（5）式に対し減衰定数が大きくなるとどうなるでしょうか。
x''＋2x'＋400x＝0 ・・・・・・・・・・ （5）
（5）式と固有振動数は同じで、減衰定数を0.3にとってみます。
ωo＝20
ζ＝0.3
運動方程式は（3）式を参考にすると次式となります。
ωo^2＝400
2ζωo＝12
x‘’＋12x‘＋400＝0 ・・・・・・・・（14）
ζは考慮に入れ、（4）式を参考にして
ωn＝√1-ζ^2*ωo≒19.1
ζωo＝6
x＝e^-6t(Ccos19.1t＋Dsin19.1t)
初期条件t＝0、x＝1、x'＝0より 前号を参考にして
x＝e^-6t｛cos19.1t＋6/19.1sin19.1t｝
x＝1.048e^-6tcos（19.1t-θ） ・・・・・・・・・（15）
θ＝tan-1（6/19.1)
図2は(14)式の解（15）式と（5）式の解(13')を重ねて表示したものです。
（13‘）式に比べ（15）式の方が減衰する時間が早いこと、減衰周波数も減衰定数の影響で固有周波数より少し低くなっていることがわかります。
図2 減衰定数の違う波形（イメージ図）
(2006年3月23日発行メールマガジンより抜粋)
