（2）外力が働かない場合
運動方程式は微分方程式を解くことでした。今回は例をあげて解いてみましょう。専門書の解説用語と比較しながら見ていくと理解しやすいと思い、そのように説明を進めます。
2-1 専門書などで解説されている一般的な式
前号より運度方程式は次式で表わされます。
mx''＋cx'＋kx＝0 ・・・(1)
mで割って
x‘’＋(c/m)x‘＋（k/m）x＝0 ・・・（2）
ここで
k/m＝ωo^2 （ωo：固有振動数）
さらに臨界減衰係数Ccを
Cc/2m＝√k/m＝ωo
ζ＝c/Cc （ζ：減衰定数）
にとると、（2）は
x‘’＋2ζωox‘＋ωo^2x＝0 ・・・（3）
この解は
x＝Ae^（-ζωot）cos(√1-ζ^2*ωot−Φ） ・・（4）
または
x＝Ae^（-ζωot）sin(√1-ζ^2*ωot＋Ψ）
ωn＝√1-ζ^2*ωo （減衰自由振動周波数）
A、Φ、Ψは初期条件で定まる値です。
ζ≪1では
ωn＝ωo
x＝Ae^（-ζωot）cos(ωot-Φ） ・・・（4‘）
として解説されています。
ωo、ζがどんな意味を持つかに注目していきます。
2-2 例題
（1）式として次の例をとりあげます。
x‘’＋2x‘＋400x＝0 ・・・（5）
これは前号の図で質量を右にずらし、そっと放した場合の式になります。
右辺が0の微分方程式は同次方程式といいます。
この方程式を解くとき、減衰と振動は複素数の指数関数として表わされますから、解の形を
x＝e^λt ・・・（6）
とおいて、λを求めます。λは複素数です。
（6）を微分すると
x'＝λe^λt、 X''＝λ^2*e^λt
これを（5）式に代入し
λ^2*e^λt＋2λ*e^λt＋400e^λt＝0
（λ^2＋2λ＋400）e^λt＝0 ・・・（7）
e^λt≠0より
λ^2＋2λ＋400＝0 ・・・(8）
式（8）は系の振動特性を表わすので、特性方程式といいます。
根を求める公式を利用し、
λ＝［｛-b±√b^2-4ac｝/2a］
＝｛-2±√4-4*400｝/2
＝-1±√1-400
＝-1±j√399 ・・・（9‘）
≒-1±j√400
≒-1±j20 ・・・（9）
xの2つの解が得られました。
x1＝e^-1+j20、 x2＝e^-1-j20
［定理1］
同次方程式の解がx1、x2の2つ求められたとき、解は
x＝Ax1+Bx2
となり、A、Bは積分定数で初期条件などで決る。
定理1より、またオーラーの公式（10）を使い
e^jθ＝cosθ＋jsinθ
e^-jθ＝cosθ−jsinθ ・・・（10）
x＝Ae^(-1+j20)t＋Be^(-1-j20)t
＝e^-t｛Ae^j20t＋Be^-j20t｝
＝e^-t｛Acos20t＋jAsin20t＋Bcos20t-jBsin20t｝
＝e^-t｛(A+B)cos20t＋j(A-B)sin20t｝
ここで新しい定数を、C=A+B、D＝j(A-B)とすれば
x＝e^-t｛Ccos20t＋Dsin20t｝ ・・・（11）
と一般解を得ました。
（10）式を微分すると
x'＝−e^-t｛Ccos20t＋Dsin20t｝
＋e^-t｛-20Csin20t＋20Dcos20t｝ ・・・（12）
C、Dをきめるため、変位を1mずらしそっと放したとすると、初期条件は
t＝0で、x＝1、x'＝0
この条件を（11）式、（12）式に入れると
1＝C
0＝−C＋20D
より、
C＝1
D＝1/20
よって、
x＝e^-t｛cos20t＋1/20*sin20t｝ ・・・（13）
さらに三角関数の合成の公式を使うと
x＝e^-t√（1^2+1/20^2）cos（20t-Φ）
＝1.0012e^-tcos（20t-Φ） ・・・（13‘）
Φ＝tan^-1（D/C）＝tan-1（1/20）
質量mを1mずらしそっと放した時の振動変位xを求めることができました。
図1は(13')式をグラフに描いたものです。
質量mを1mずらしそっと放した時の振動変位xを求めることができました。
図1は（13‘）式をグラフに描いたものです。
図1 減衰波形
(2006年2月23日発行メールマガジンより抜粋)
