(2)当外力不起作用时
运动方程式是求解微分方程式。让我们通过举例来解决这个问题。我觉得一边和专业书的解说用语比较一边看的话容易理解，就那样进行说明。
2-1 在专业书籍等中解释的一般公式
从上一期开始，运度方程式用下式表示。
mx''＋cx'＋kx＝0 ・・・(1)
除以m
x‘’＋(c/m)x‘＋（k/m）x＝0 ・・・（2）
在这里
k/m=ωo^2 (ωo:固有频率)
然后我们将临界阻尼系数Cc
Cc/2m＝√k/m＝ωo
ζ=c/Cc (ζ:衰减常数)
, (2) 表示
x‘’＋2ζωox‘＋ωo^2x＝0 ・・・（3）
这个解决方案
x＝Ae^（-ζωot）cos(√1-ζ^2*ωot−Φ） ・・（4）
或
x＝Ae^（-ζωot）sin(√1-ζ^2*ωot＋Ψ）
ωn=√1-ζ^2*ωo (衰减自由振荡频率)
A、Φ、Ψ为初始条件确定的值。
ζ≪1≫
ωn＝ωo
x＝Ae^（-ζωot）cos(ωot-Φ） ・・・（4‘）
中选择新的扶手类型，来修改默认的扶手。
ωo,我们将关注ζ的含义。
2-2 例题
(1)以下是表达式的示例:。
x‘’＋2x‘＋400x＝0 ・・・（5）
这是上一期图中将质量向右移动并轻轻释放时的公式。
右边为0的微分方程称为齐次方程。
在求解该方程时，衰减和振动表示为复数的指数函数，因此请将解的形式
x＝e^λt ・・・（6）
然后，求λ。λ是复数。
(6)进行微分
x'＝λe^λt、 X''＝λ^2*e^λt
将其代入公式 (5)
λ^2*e^λt＋2λ*e^λt＋400e^λt＝0
（λ^2＋2λ＋400）e^λt＝0 ・・・（7）
e^λt≠0
λ^2＋2λ＋400＝0 ・・・(8）
公式 (8) 表示系统的振动特性，因此称为特性方程。
利用寻根公式，
λ＝［｛-b±√b^2-4ac｝/2a］
＝｛-2±√4-4*400｝/2
＝-1±√1-400
＝-1±j√399 ・・・（9‘）
≒-1±j√400
≒-1±j20 ・・・（9）
x的两个解决方案。
x1＝e^-1+j20、 x2＝e^-1-j20
[定理1]
如果获得两个同次方程解 (x1和x2)，则解为
x＝Ax1+Bx2
, A、B是积分常数，由初期条件等决定。
根据定理1和奥勒公式 (10)
e^jθ＝cosθ＋jsinθ
e^-jθ＝cosθ−jsinθ ・・・（10）
x＝Ae^(-1+j20)t＋Be^(-1-j20)t
＝e^-t｛Ae^j20t＋Be^-j20t｝
＝e^-t｛Acos20t＋jAsin20t＋Bcos20t-jBsin20t｝
＝e^-t｛(A+B)cos20t＋j(A-B)sin20t｝
假设新常数为C=A+B, D=j (A-B)
x＝e^-t｛Ccos20t＋Dsin20t｝ ・・・（11）
我得到了一般的解决方案。
(10)对公式进行微分
x'＝−e^-t｛Ccos20t＋Dsin20t｝
＋e^-t｛-20Csin20t＋20Dcos20t｝ ・・・（12）
如果将位移移动1米并轻轻释放以确定C和D,则初始条件为
当 t=0 时，x=1，x'=0
如果我们把这个条件放入公式 (11) 和公式 (12) 中，
1＝C
0＝−C＋20D
更改为
C＝1
D＝1/20
因此，
x＝e^-t｛cos20t＋1/20*sin20t｝ ・・・（13）
再用三角函数的合成公式
x＝e^-t√（1^2+1/20^2）cos（20t-Φ）
＝1.0012e^-tcos（20t-Φ） ・・・（13‘）
Φ＝tan^-1（D/C）＝tan-1（1/20）
可求出将质量m错开1m轻轻放开时的振动位移x。
图 1 显示了方程 (13') 的图像。
可求出将质量m错开1m轻轻放开时的振动位移x。
图1是 (13') 表达式的图形表示。
图1衰减波形
(摘自2006年2月23日发行的电子邮件杂志)
