(3)固有频率和阻尼常数
有了固有频率和衰减常数，我们就知道了解公式的形式，将其应用于每个系数就会得到一个解。
这次跟上一期相反，看看这个样子吧。
前面的基本公式 (3)、(4)、(4’) 公式和例题 (5)、(13)、(13’) 公式总结如下。(部分添加)
ζ≪1≫
x''＋2ζωox'＋ωo^2x＝0 ・・・・・・・・・・・・ (3)
x＝e^(-zωot){Ccos(√1-z^2*ωot)+Dsin(√1-z^2*ωot)}
＝Ae^(-zωot)cos(√1-z^2*ωot−Φ) ・・・・・・・・ （4）
ωn = √1 - ζ^2 * ωo ≈ ωo
Φ = tan⁻¹(D/C)
ACD 是由初始条件决定的常数。
x＝Ae^(-ζωot) cos(ωot-Φ) ・・・・・・ (4')
x''＋2x'＋400x＝0 ・・・・・・・・・・ （5）
x＝e^-t｛cos20t＋1/20*sin20t｝ ・・・・・・・・・・ （13）
＝1.0012e^-tcos（20t-Φ） ・・・・・・・・・・ （13’）
Φ＝tan^-1（1/20/1）＝tan-1（1/20）
让我们比较每个系数。
固有频率ωo、衰减常数ζ为
ωo^2＝400
2ζωo＝2
比
固有频率:ωo=2πfo=20
fo≈3.2 (Hz)
衰减常数:ζ=1/20=0.05
衰减自由振动频率:ωn≈ωo
(3-1) 例题
(5)如果阻尼常数相对于表达式增加，会发生什么情况?
x''＋2x'＋400x＝0 ・・・・・・・・・・ （5）
(5)假设阻尼常数为0.3且表达式和固有频率相同。
ωo＝20
ζ＝0.3
运动方程式参考 (3) 式可得下式。
ωo^2＝400
2ζωo＝12
x‘’＋12x‘＋400＝0 ・・・・・・・・（14）
ζ考虑在内，参照 (4) 式
ωn＝√1-ζ^2*ωo≒19.1
ζωo＝6
x＝e^-6t(Ccos19.1t＋Dsin19.1t)
基于初始条件 t=0，x=1，x'=0，参考上一期。
x＝e^-6t｛cos19.1t＋6/19.1sin19.1t｝
x＝1.048e^-6tcos（19.1t-θ） ・・・・・・・・・（15）
θ＝tan-1（6/19.1)
图 2 显示了方程 (14)、方程 (15) 的解，以及方程 (5)、方程 (13') 的解，它们彼此叠加在一起。
请注意，(15) 表达式的衰减时间比 (13’) 表达式快，且衰减频率由于衰减常数而略低于固有频率。
图2衰减常数不同的波形 (示意图)
(摘自2006年3月23日发行的电子邮件杂志)
