(2-5) 衰减常数和对数衰减率
本期研究衰减常数与对数衰减率的关系。
图3:衰减波形
设图3的衰减波形的相邻波高值为x1、x2、x3 ・・・，
如果e^δ是这个比率，
e^δ=x1/x2=x2/x3=・・・=xn-1/Xn ・・・（16）
其中x1=e^ (-ζωoT1)，x2=e^ (-ζωoT2)，T2=T1+Td,
Td是衰减波形的一个周期。
Td=2π÷ (ωo√ (1-ζ^2) ) ・・・ (17)
(1-ζ^2表示√中，下同)
e^δ=x1/x2=e^(-ζωoT1)/e^(-ζωo(T1+Td))
=e^(ζωoTd)
取自然对数
δ=ζωoTd
=2πζ÷√(1-ζ^2) ・・・（18）
ζ≪1≫
δ≒2πζ ・・・（18‘）
还有
x1/xn=(x1/x2)(x2/x3)・・・(xn-1/xn) ・・・（19）
=e^(nδ)
所以
δ=(1/n)*Ln(x1/xn) ・・・（20）
当振幅达到1/2的周期数为n时，
δ≒2πζ=(1/n)*Ln2=0.693/n
δ称为对数衰减率，衰减常数ζ具有 (18)，(18')，(19) 公式。根据实验等测量的衰减波形，对数衰减率δ和衰减常数ζ可以用这个求得。
(2-6) 利用希尔伯特变换求衰减常数ζ
到目前为止，当我们知道固有频率ωo和衰减常数ζ时，我们发现它可以用数学表达式表示。那么我们怎样才能得到ωo和ζ呢?
1种方法可如 (2-2) 项所示，给定初始条件，从自然衰减波形求出。
FFT分析器具有使用希尔伯特变换求出包络线 (包络)，取其常用对数，从图4的图表中求出对数衰减率和衰减常数的功能。确认一下这个求法吧。
图4:根据图3的希尔伯特变换求对数衰减率
例题:
𝑥=1.0012e−𝑡cos(20𝑡−1/20) ・・・ （1）
根据该式的包络，求出对数衰减率、衰减常数。
上式 (1) 中的包络线y为下式:。
y=1.0012e-t
使用此10log y2显示的图表如图4所示。
x1和x2的点可以任意取，例如t=0.2s和1.2s的点如下表所示。
因此，
Δy = -1.72676 -(- 10.4127) = 8.68589
Δx = 1.2 - 0.2=1
另外，频率fn根据cos [20t-1/20]
2πfn=20 fn=20/2π
因此，对数衰减率δ
δ=0.115Δ_y÷(Δ_x×f_n )=0.115×8.68589÷(1×20/2π)≅0.314
根据对数衰减率与衰减常数的关系式 (3) 求衰减系数ζ，设ζ≪1≫
δ=2πζ ・・・ （2）
Ζ=δ÷(2π)=0.314+(2π) ≅ 0.05
该值与本文 (2-3) 中描述的ζ相同。
比较公式 (1) 和公式 (2) 可帮助理解阻尼常数，如下所示:。
x=1.0012-tCOS(20t-1/20) ・・・ （1）
x=Ae-ω0t cos(√(1-ς2 ) α0 t-ψ) ・・・ （2）
在图3和图4中，
n=Δx÷Td=Δx*fn (ωn=2πfn, fn:谐振频率)
此外，(20) 式是对数底的变换公式。
LogbM=LogaM÷Logab
(LogaM:以a为底的M的对数;M:LogaM的真数;
M=a^r表示r=LogaM)
因此，LnM
LnM=LogM÷Loge
(Ln是自然对数，以e为底;Log是常用对数，以10为底)
进行变形时，
δ=(1/n)*Ln(x1/xn)
=(1/n)*Log(x1/xn)÷Loge
=(1/n)*(1/20)*{20Logx1−20Logxn}÷Loge
=(1/n)*{10Logx1^2−10Logxn^2}÷(20Loge)
=1/(Δx*fn)*ΔY÷(20Loge)
=(ΔY/Δx)*(1/fn)÷(20Loge)
=0.115*(ΔY/Δx)*(1/fn) ・・・（21）
由公式 (21) 可知，δ是由Δx与ΔY的比值求得的。
请注意，ΔY是对数。
请参考图 4 中的示例说明。
以公式（13'）为例，我们尝试从衰减波形的幅度比确定对数衰减率和衰减常数。
x=1.0012e^{-tcos(20t-Φ)} ・・・（13‘）
(2-7) FFT分析器的希尔伯特变换
已尝试使用实际的FFT分析器。
图5是使用DS2000系列FFT分析器的Hilbert变功能，计算对数衰减率Log.d、衰减常数Damp的画面。
图5:通过希尔伯特变换求出x=1.0012e-t cos (20t-Φ) 的衰减系数
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上:时间波形
中:功率谱 (fn=3.125)
下:运算显示希尔伯特变换、Y轴Log、对数衰减率Log.d、衰减常数Damp、振动频率Freq
分析结果是
Log.d:0.320 Damp:5.095% (0.05) 自由振荡频率:3.125Hz
和仪式一样。
在某些情况下，衰减波形不是单频的，并且希尔伯特变换的图形可能不是线性的。这可能是非线性因素，例如谐波的影响或振幅相关性，其中衰减率随振幅的大小而变化。有必要研究评估方法，例如将振幅设置为线性范围，通过增加Δx将其设置为平均衰减率，通过施加频带限制进行希尔伯特变换，对多次测量的衰减常数进行平均，并将其与频率响应函数计算的结果进行比较。
施加频带限制的希尔伯特变换的处理是施加频带限制，求出IFFT (逆傅里叶变换) 后的波形，对该波形进行希尔伯特变换，求出对数衰减率和衰减常数。
作为参考，使用图5的数据，施加频带限制通过IFFT求出的波形如图6所示。由于原始数据清晰，不会出现限频效果。请参考。
图6:施加频带限制的IFFT运算后，根据其时间轴波形求出的希尔伯特变换>
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上:将图5的数据隔着共振频率进行频带限制，进行IFF运算的波形
下:将IFFT的波形与图5同样进行希尔伯特变换，求出衰减常数。
(2006年4月20日摘自发行电子杂志)
