这次我们将解决外力f (t) 直接作用于1自由度物体的强制振动的情况。运动方程式
x''＋2ζωox'＋ωo^2x＝f(t) ・・・ （1）
■求解非齐次方程
公式 (1) 在数学中被称为非齐次方程，解决它的程序是
(1) (t) =0的同次方程式
x''＋2ζωox'＋ωo^2x＝0 ・・・ （2）
的双曲余切值。这个解叫做一般解。
(2)非齐次方程
x''＋2ζωox'＋ωo^2x＝f(t)
中选择新的扶手类型，来修改默认的扶手。
(3)整体解
整体解是一般解和特殊解的和。
■解答例题式 (3)
与前项相同系统受到20cos10t外力作用时的公式
x''＋12x'＋400x＝20cos10t ・・・ （3）
让我们以例子为例来解决它。
(1)求一般解
如振动分析-26“响应谱-3”中所说明，(1) 是利用特性方程式求解的，因此只引用结果。
x''＋12x'＋400x＝0
x=e^ (-6t) ・{Ccos19.1t+Dsin19.1t}・・・ (4)
C、D是由初始条件决定的常数。
(2)求特殊解
为了求得特殊解，假定特殊解的形式。
如果f (t) 为Kcosωt或Ksinωt,则特殊解为
X＝Ae^(ikt) ・・・ （5）
但是，式 (4) 的一般解中有与式 (5) 相同形式的情况
X＝tAe^（ikt) ・・・ （6）
考虑。
这里假定公式 (5) 为特殊解的形式来求解。
式 (3) 中f (t) =20cos10t,式 (5) 的X为
X＝Ae^(ikt)
＝Acos(kt)+iAsin(kt) ・・・（7）
X虽然是复数，但实数部分是cos,
20cos10t设为20e^ (10it)，解答时请注意“用复数的指数函数计算后，实数部分
”。解决方案的形状
X＝Acoskt＋Bsinkt ・・・ （8）
通常使用假设求解的方法，但是在这里，如果将复数设置为指数函数，则更容易计算微积分等，因此它以指数函数表示。那么，按照顺序寻求特殊解。
x''＋12x'＋400x＝20cos10 ・・・ （3）
将公式 (3) 的特殊解
x＝Ae^(10it) ・・・ （9）
,它的导数是
x'＝10iAe^(10it) ・・・ (10)
x''＝-100Ae^(10it) ・・・（11）
设20cos10t为20e^ (10it)，将导数代入公式 (3)
-100Ae^(10it)＋120iAe^(10it)+400e^(10it)＝20e^(10it) ・・・（12）
我整理了一下，找出了A
Ae^(10it)｛-100＋120i＋400｝＝20e^(10it) ・・・（13）
A＝20÷｛300＋120i｝
＝20÷｛√（300^2＋120^2）e^{tan-1(120/300)i}｝
＝20÷{323e^(0.38i)}
＝0.0619e^(-0.38i) ・・・（14）
{323e^ (0.38i) }是{300+120i}的极格式。
因此公式 (9)
x＝0.0619e^(-0.38i)・e^（10it)
＝0.0619e^i(10t-0.38)
＝0.0619{cos(10t-0.38)＋isin(10t-0.38)} ・・・（15）
取此实数，
x＝0.0619cos(10t-0.38) ・・・(16)
这是特殊解。
(3)整体解
取一般解式 (4) 和特殊解式 (16) 的和
x＝e^-6t(Ccos19.1t＋Dsin19.1t)＋0.0619cos(10t-0.38)・・・ （17）
) 中被调用，将出现故障。
以此为初始条件，将物体移动1m,施加振动频率ω=10 (rad/s) 周期的外力，轻轻放开。
当 t=0 时，x=1，x'=0
用这个条件求C、D。
将条件代入式 (17) 求C
1＝C＋0.0619cos(-0.38)
C＝0.9425 ・・・（18）
接下来，计算 x'，
x'＝-6e^(-6t)｛Ccos19.1t＋Dsin19.1t｝
＋e^(-6t)｛-19.1Csin19.1t＋19.1Dcos19.1t｝
−0.0619*10sin(10t-0.38) ・・・（19）
代入初始条件 t=0 和 x'=0，
0＝-6C
＋19.1D
＋-0.619sin(-0.38)
代入式 (18) 求D
D=0.284
一般解是将C、D代入公式 (17)
x＝e^(-6t)｛0.9425cos19.1t＋0.284sin19.1t｝＋0,0619cos(10t-0.38)
＝0.984e^(-6t)cos(19.1t-0.293)＋0.0619cos(10t-0.38)
・・・（20）
我能够得到一个解决方案。
将公式 (20) 绘制在图表上。图1显示了重叠的表达式 (20) 和e^ (-6t)，图2显示了0.15cos10t而不是20cos10t并与表达式 (20) 重叠以便于查看。从图中可以看出，大约1s代表瞬态现象，然后响应于外力cos10t,与外力相比有-0.38rad的相位差。此外，值得注意的是，如果我们获得非齐次方程的特殊解，我们可以看到强迫振动的稳态形式。
图1:强迫振动响应波形和瞬态响应的振幅包络
图2:强制振动响应波形和外力
参考文献
复数的故事鹰尾洋保著日科技连出版社
(摘自2006年5月25日发行的电子邮件杂志)
