前回の話の補足としてもう少しすすめてお話します。
打撃試験の応答波形は「振幅は指数的な減衰特性になります」とよく表現されますがこのことを考えて見ましょう。
（1）exp(-t)
exp(-t) t：時間 の関数は
t=1のとき 1/e
t=2 1/e^2
t=3 1/e^3
e：自然対数（約2.718）
よって時間が経つにつれ1/eという一定の比率で小さくなっていきます。
前回では減衰比の話をしましたが減衰定数ζで表すと次式で表されます。
exp（-ζt） ・・・（1）
（2）exp（jωt）
exp（jωt）を考えて見ましょう。
exp（jωt）＝cosωt+jsinωt ・・・（2）
この式はオイラーの公式です。
これは複素平面（ガウス平面ともいわれX軸：実数、Y軸：虚数の座標）上では時間の経過につれて半径1の円を反時計回りに軌跡を描く波形となります。また、
exp（-jωt）＝cosωt-jsinωt
は同様に時計回りの円軌跡となります。
（3）exp（-t)とexp（-jωt）の掛け算
（1）と（2）を掛け算した関数はどうなるでしょう。
時計回りに回りながらだんだん半径が小さくなる、いわゆる渦巻き状に次第に0に接近する波形となります。
次式でexp（-ζt)が振幅を表していることになります。
exp（-ζt)exp（-jωt）
＝exp（-ζt）（cosωt＋jsinωt）
＝exp（-ζt）cosωt＋jexp（-ζt)sinωt・・・（3）
exp(-ζt)cosωt、exp(-ζt)sinωtはX軸を時間にとり軌跡を描くとcosωtの減衰波形、sinωtの減衰波形となります。
（4）伝達関数・固有周波数の応答波形
伝達関数の測定から固有振動周波数ωo（＝2πfo）の実数A、虚数B、またはボード線図表示から振幅比Roと位相差Φoを読み取ることができます。また半値幅法から減衰比を読み取ることができます。
実数、虚数の値から伝達関数を複素数で表現しますと
Acosωot＋jBsinωot ・・・（4）
となります。
これはcosωotの信号を入力すると、その応答がAcosωot＋jBsinωotの出力になることを表しています。
この式では何だかわかりませんので、これを振幅と位相で表すこととします。
振幅（絶対値）Ro＝√A^2＋B^2
（A^2+B^2は√の中を表す）
位相差 Φo＝tan-1（-B/A） tanΦo＝-B/A
の関係があります。これを式(4)に当てはめると次式に変換できます。
Ro cos（ωot＋Φo）+jRo sin（ωot＋Φo）
＝Ro exp（jωot+Φo） ・・・（5）
Ro、Φoはボード線図から読み取ったRo、Φoの値となります。
先の話をもう一度考えてみます。振幅1、周波数ωoのcos波形の信号を入力したときの応答は、Ro cos（ωot＋Φo）の式(5)のcosの項の出力になります。cosωotは実数なので応答の実数部分をとります。
同様にsinωotの入力の場合は虚数をとり Ro sin（ωot＋Φo）となります。
ここで、sinは位相差90度遅れたcosと同じ波形ですから、sinは背後においてcosのみ考えればよさそうと思いませんか。
実際に波形観測される応答は式(5)のcosの応答となります。
jsinの項は位相Φoの中に隠れています。
これは数学のマジックとなります。
さて、今までの話では減衰を考えていませんでした。
インパルス信号では全ての周波数を含むので、その内の周波数ωoのみで加振された場合を考えると、cosωoの信号を入力していて急に信号ゼロとした場合の応答となりますから、周波数ωoの減衰比より対数減衰率δを次式で求めると
Ro exp（-δt）exp（jωot+Φo） ・・・（7）
として表すことができます。δはマイナスの値をとりますがわかりやすくするため極性を付けました。これは式（3）と同じ形に戻りました。
以上のように考えると時間領域と周波数領域の関係を理解することができると思います。
減衰波形のダミーデータを使い、そのデータから（7）式を求める例を「対数減衰率計算例」として文末に掲載しましたので、ご参考ください。
対数減衰率計算例
関連記事
減衰を表す係数
(2004年10月21日発行メールマガジンより抜粋)
