前回、伝達関数の説明をしましたが、一般のFFT解析装置では、具体的にどのように計算されているのでしょうか？
定義式をもう一度書きますと
H (f) ＝ Y (f) / X (f) ---------------------- (1)
ここで、X (f) と Y (f) は、系の入出力信号 x (t)、y (t) のフーリエ変換です。実際の計算では、上記（1）式は、使われていません。（1）式の右辺の分母と分子に X (f) * （複素共役）を掛けると；
H (f) ＝ Y (f) / X (f) ＝ X (f) * Y (f) / X (f)* X (f)
＝ Gxy (f) / Gxx (f) ------------------- (2)
となります。すなわち、伝達関数 H (f) は、系の入出力のクロススペクトル Gxy (f) と入力のパワースペクトル Gxx (f) の比となり、一般のFFT 解析装置では、（2）式で計算されます。
さらに、実際のスペクトルの推定では、サンプルされた十分に長い時系列信号から N 点のFFT 時間窓長を M ブロック切り取り、平均をすることにより、実行します。
Gxx (f) ＝ 1/M Σ (X (f) * X (f))---------------- (3)
Gxy (f) ＝ 1/M Σ (X (f) * Y (f))---------------- (4)
（Σ：加算の添え字は省略します）
すなわち、伝達関数の推定値は、クロススペクトルの推定値（4）式とパワースペクトルの推定値（3）式の比として、求められます。
このように計算するメリットあるいは理由としては；
- 直接 (1) 式で、平均すると、位相がバラバラで安定しない。またランダム信号では、瞬時のスペクトル X (f) が0となる場合があり、計算できないことがある。
- 入力源にランダム信号を用いて充分平均操作をすることにより、非線形の系を線形近似することができる。
- 出力信号に信号源に無相関なノイズが乗った場合でも、平均操作をすることにより、ランダムエラーを低減できる。
などがあります。
（1）式の右辺の分母と分子に X (f) * （複素共役） を掛けるかわりにY (f) * を掛けると、
H (f) ＝ Y (f) / X (f) ＝ Y (f) * Y(f) / Y(f)* X(f)
＝ Gyy (f) / Gyx (f) ------------------ (5)
となり、出力のパワースペクトルと入出力のクロススペクトル（複素共役）の比としても計算することができます。
（2）式より求める伝達関数を H1、（5）式より求める伝達関数をH2 と言うことがあります。H2 推定は、入力に大きなノイズが乗った場合に充分な平均により、ランダムエラーを低減することができます。
(2003年9月19日発行メールマガジンより抜粋)
