前回、伝達関数の具体的な計算方法を述べましたが、今回は、伝達関数の推定精度を測るために重要なコヒーレンス関数を説明します。
出力信号 y (t) が、信号 x (t) を伝達系に入力して得られる出力信号v (t) とそれに関係ない信号（すなわちノイズ） n (t) の合成とすると、
y (t) = v (t) + n (t) -------------------------(1)
となります。ここで、実際に計測出来るのは、x (t) と y (t) だけで、v (t) は計測出来ません。また、系の伝達関数を H (f) とすると、
V (f) = H (f) X (f) -----------------------------(2)
となり、x (t) の成分だけに起因する出力信号 v (t) のパワースペクトルは
GVV (f) = |H (f)|2 GXX (f) ---------------------(3)
と表すことができます。
ここで、(3) 式のパワースペクトルと全出力 y (t) のパワースペクトルの比 γ2 (f) を計算すると、
γ2 (f) = |H (f)|2GXX (f) /GYY (f)
(H (f) = GXY (f) /GXX (f) を代入して)
= |GXY (f) |2 /(GXX (f) GYY (f)) ----------(4)
となります。この γ2 (f) はコヒーレンス関数（関連度関数）と呼ばれ、全出力のパワーの中で、入力信号に基づく成分（すなわち入力信号に線形な成分）のパワーの比率を意味しています。
このように、コヒーレンス関数は、入力と出力の関係の強さを表現する比ですので、その値は0 から1の間になり、γ2 (f) = 0 ならば、入出力が全く無関係であることを表し、γ2 (f) = 1 ならば、出力が全て入力の寄与の成分であることを表しています。
一般に、コヒーレンス関数が1より小さくなる理由は、以下の原因の1つあるいはその複合が考えられます。
- 系が線形でない場合
- 測定系に無関係な外部雑音が混入する場合
- 漏れ誤差（分解能バイアス誤差）が生じる場合
（伝達系のインパルス応答が時間窓長より長い時）
- 着目する入力信号x(t)以外の他の信号が系に入力されている場合
などです。
現実的には、出力のパワースペクトルが非常に小さい場合（すなわち出力が応答しない場合）にもコヒーレンス関数が低下します。
コヒーレンス関数は、伝達関数の推定の信頼度を評価するのに用いられます。実際的には、0.9 以上のコヒーレンス関数が算出されている周波数成分は、信頼出来る伝達関数が推定されていると言って良いでしょう。
(2003年10月17日発行メールマガジンより抜粋)
