基礎からの周波数分析（19）－「伝達関数とその図示方法」

前回まで2回に掛けて「伝達関数」についてお話しました。今回は、その3回目として、その伝達関数の具体的な計算方法、その図示方法、電気系や機械系などの実例についてお話しします。

伝達関数を求める目的は、伝達系の伝達特性を求めることです。一般には、伝達関数は、伝達系の入出力のラプラス変換の比として定義されますが、ここでは、実測できる周波数の関数として考えます。

いま、図1のような伝達系を考えて、入力に一定の周波数 f を持つ正弦波関数x(t) = a sin (2πft) を入力すると、線形系ですので、その定常応答である出力も同じ周波数fの正弦波関数となり、y(t) = b sin (2πft + θ) となります (図2)。

このとき、伝達関数 H(f) のゲインと位相は；

ゲイン

(振幅比)

位相∠H(f)=θ(位相差)

となります。すなわち、伝達関数 H(f) は、周波数の値によって決定される2つの量 (ゲイ
ンと位相) を持ち、これを特に系の周波数応答と呼びます。

また、伝達関数 H(f) は、1つの周波数に対してゲインと位相と2つの情報を持つので複素
数として表すことができます。

図3 において、複素関数 H(f) の実数部をH_real 、虚数部をH_imagとすると；

H(f) = H_real + j H_imag

となります。すなわち図 3 は複素平面上である周波数における伝達関数 H(f)をベクトル
で表したものものです。

また、ゲインと位相は、実数部と虚数部を用いて；

ゲイン

位相

と、記述することができます。

伝達関数H(f)は、周波数を変数とした複素関数なので、いろいろな図示表現があります。
ここでは、共振のあるローパスフィルタの伝達系を例にとって説明します。

図4は、ゲイン特性と位相特性を各周波数fに対してプロットしたもので、ボード線図と
呼ばれ、通常横軸(周波数軸)は、対数軸で表示します。また、そのゲイン特性の縦軸は、
式 (3) を dB 化した値20log|H(f)|、位相特性の縦軸は ±180 度 (あるいは ±200 度)
表示となります。このグラフの特徴は、①共振周波数とその大きさが分かりやすい、
②グラフが 2つになるが、周波数軸が明確、③ゲインと位相の関係が分かりやすい(共振
点では必ず位相が 180 遅れるなど) などです。

図3と同じように、図5は複素平面上で周波数を変化させながら、伝達関数をベクトル表示しその頂点をプロットしたもので、ナイキスト線図 (ベクトル軌跡) と呼ばれ、横軸は実数部、縦軸は虚数部となります。このグラフの特徴は、①共振点付近での位相の回りが分かりやすい、②1つのグラフですむが、周波数軸がわからない、などです。

図6は、実数部と虚数部を各周波数fに対してプロットしたもので、コクアッド線図と呼ばれます。このグラフの特徴は、①虚数部で共振点を見つけやすい、②ゲインと位相が直接表現されない、などです。

その他に、制御系などで使われるニコルス線図（ゲイン位相線図）もありますが、ここでは省略します。

FFTアナライザやサーボアナライザなど具体的な計測器では、どのような方法で伝達関数H(f)を求めているのでしょうか？

最近の周波数分析器では、FRA 法とFFT 法の2つの方式が用いられています。

FRA (Frequency Response Analysis) 法は、単一の周波数を掃引しながら、オートレンジ機能を使用して、1 ポイントずつ繰り返し測定（フーリエ積分）することにより、指定された
周波数帯域の周波数応答を求めます (図 7)。

本方式の特徴は；

1. 回の測定で 1 点の周波数だけ測定するので、計測器のオートレンジ機能を用い
   て非常にダイナミックレンジの高い計測が可能
2. 対数分解能のスイープ（ログサインスイープ）が可能
3. 広帯域を任意の周波数範囲で、計測が可能
4. 計測時間が長い

です。

それに対して、FFT (Fast Fourier Transform) 法は、予め用意された分析周波数帯域に連動
した信号源を測定対象物に加え、全帯域を FFT 技術により同時に測定します (図 8)。

FFT 法に用いられる信号源は、ランダムノイズ、擬似ランダムノイズ、スウェプトサイ
ン (チャープサイン)、インパルスで、これらの信号は、分析周波数にわたってすべて同
じパワーの周波数成分を含みます。

本方式の特徴は；

1. 着目する帯域を同時に求めるので、高速に系の特性が測定可能
2. 分析結果はリニア分解能しかできない
3. 伝達関数の信頼度を確認できるコヒーレンス関数も同時に求めることができる

です。

最後に、伝達系の具体的な計測事例を紹介します。

図9は、電気系のLCR共振回路、図10は、機械系の1自由度共振系の例で、どちらも、
2次遅れ要素系の伝達関数として表現できます。

2次遅れ要素系の伝達関数の標準形は、ラプラス変換を用いて；

ω_n (=2πf) : 固有角振動数、ζ: 減衰比K : ゲイン定数
となります。
図9 (電気系) において、L : コイル、R : 抵抗、C : コンデンサーとすると；

ここで、

とおくと；

となり、式 (8) は式 (5) に等しくなります。

同じように、図 10 (機械系) において、m : 質量、u : 粘性減衰係数、k : バネ定数とすると；

ここで；

とおくと、式 (9) は式 (5)；

と等しくなります。
実際に、サーボアナライザを使って図 9 の回路系伝達特性（式 (8)）を計測してみます。
式 (8) を周波数の関数とするために、s =jω（ω= 2πf）とおくと；

式 (11) のG(jω)は、減衰比ζの値によってグラフの形が変わります。

図11は、図9の伝達系でζを変化させて測定し重ね書きしたボード線図です。
この例では、L=約 800 (μH)、C=約 0.1 (μF) ですから、固有角振動数 ω_nは 18.64 kHz
となっていることが確認できます。また、この回路は、共振特性を持つローパスフィルタ
であることが周波数特性からわかります。

サーボアナライザ DS-0342 で実測したボード線図（図 12）とナイキスト線図（図 13）の測
定例です。

(2015年1月22日発行メールマガジンより抜粋)