前回は、2ch間の周波数関数であるクロススペクトルについてお話しましたが、今回は、その続きとして、FFT アナライザにおいて 2ch 系関数で最も重要なかつ最も実用的な価値の高い「伝達関数」について、お話します。そして、そのクロススペクトルの重要な応用である「クロススペクトル法」により、伝達関数を算出する方法を紹介します。
【注意】
一般に、伝達関数とは、系（システム）の入出力の関係を表す関数で、入出力信号のラプラス変換の比として定義されますが、ここでは、周波数の関数である周波数伝達関数（周波数応答関数）について説明します。
計測コラム「フーリエ変換と畳み込み」で説明したように、線形系の図1を再掲します。
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図 1 線形系における時間関数とそのフーリエ変換
ここで、入力時間信号x(t)をインパルス応答h(t)となる線形系に加えてその出力時間信号を y(t)とすると；
................................. （1）
すなわち、出力時間信号は入力時間信号と系のインパルス応答との畳み込み積分で表すことが出来ます。
さらに、x(t) h(t) y(t)のフーリエ変換をおのおのX(f) H(f) Y(f)とすると、畳み込み定理により；
Y ( f ) = X ( f ) H ( f )................................. （2）
となります。
式（2）から；
................................. （3）
式（3）のH(f)を伝達関数と呼びます。FFTアナライザでは、周波数応答関数（Frequency Response Function、FRF）とも呼びます。伝達関数は、系の周波数軸上における伝達特性を表していて一般に複素数の関数です。
現実的な計算では、パワースペクトルやクロススペクトルの推定計算と同じように
平均処理が必要ですが、式（3）に平均処理を加えることにより；
................................. （4）
あるいは；
................................. （5）
ここで、上部のバーは集合平均（加算平均）を意味します。
伝達関数の推定計算は式（4）あるいは式（5）で行うのでしょうか？
実際のFFTアナライザでは、以下の理由により、伝達関数計算は、上記の式（4）でも式（5）でもありません。
- 非同期なフーリエスペクトルの平均は正しく求められない（位相がランダムとなるため、0に収束する）
- 系のSN比の改善とならない
実際の計算は、式（3）の右辺の分母と分子に入力信号x(t)のフーリエスペクトルの複素共役 X(f)*を掛けて；
................................. （6）
となります。
すなわち、系の入出力のクロススペクトルCxy (f)を入力のパワースペクトルPxx (f)で割った式で計算されます。さらに、伝達関数の推定計算は；
................................. （7）
となります。前回述べたように、クロススペクトルの平均化処理は、ノイズ低減効果があ
るので、伝達関数の推定計算は、通常式（7）で行います。これを、クロススペクトル法と呼びます。
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図 2 出力にノイズ成分が加わった伝達系の例
図2にあるように、入力x(t)と無関係なノイズ成分n(t)が出力に混入している伝達系h(t)を考え、その出力をy(t)とすると；
Y ( f ) = X ( f ) H ( f ) + N ( f ) ................................. （8）
となります。
................................. （9）
ここで、十分平均化を行うことにより、Cxn (f)は0に収束しますから；
............................... （10）
よって、式（7）での推定方法が、図2のような伝達系では有効であることが分かります。さらに、誤差を最小化する方法を考えて、式（8）での誤差成分N(f)の期待値（平均値）をE(f)とすると；
............................... （10）
これを最小にするH(f)の推定値をH^ ( f )とすると；
...................... （12）
これから；
...................... （13）
このように、最小2乗近似の手法からも、式（7）が推定値として妥当であることが分かります。
これらのことをまとめて、伝達関数の推定方法として式（7）を採用する理由は；
- クロススペクトル法によりSN比の改善が図れる
- 出力に外部ノイズがあるとき、平均化によりランダム誤差を最小化可能
- 最小2乗近似法により、ランダム信号を利用して非線形系に適用して線形近似が可能
- FFTアナライザで、スペクトル計算の2次処理として簡単に計算可能
など、あります。
最後に、実際の FFT アナライザでの伝達関数推定の流れを図3にまとめます。
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図 3 FFT アナライザでの伝達関数推定計算の流れ
2chの時間信号の収録とスペクトル（パワーとクロス）平均までが平均化処理のループとな っており、伝達関数の計算は、パワースペクトル（2ch分）とクロススペクトル推定結果からの後処理計算です。また、伝達関数だけでなく、伝達関数の信頼度チェックに使えるコヒーレンス関数γ2 (f) も計算可能です。コヒーレンス関数に関しては、次回に述べます。
さらに、算出された伝達関数を逆変換（IFFT）することにより、元の系のインパルスレスポンスも得られます。
最後に、まとめです。
- 線形系の出力は、系のインパルスレスポンスと入力信号との畳み込み積分で表されます。
- 系の伝達関数は、入出力信号のフーリエスペクトルの比と定義でき、一般に複素数の関数です。
- FFTアナライザでの実際の伝達関数推定方法は、入出力のクロススペクトルの推定値を入力のパワースペクトル推定値で除算して求め、この方法をクロススペクト
ル法と呼びます。 - クロススペクトル法による伝達関数推定は、ランダム誤差を最小化したり、非線形系を線形近似できるなどのメリットがあります。
- FFTアナライザでのスペクトル推定の後処理として、伝達関数だけでなくコヒーレンス関数も算出できます。
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【参考資料】
- 「ディジタルフーリエ解析（2）－上級編－」城戸健一著 コロナ社（2007 年）
- 「信号処理」森下巌・小畑秀文著 計測自動制御学会（19825 年）
(2014年9月19日発行メールマガジンより抜粋)
