在上一篇文章中，我们讨论了交叉频谱 (2ch频率函数)，而在下一篇文章中，我们将继续讨论FFT分析器中2ch函数中最重要和最有价值的传递函数。然后，我将向您展示如何通过交叉光谱的重要应用“交叉光谱法”计算传递函数。
【注意】
通常，传递函数表示系统 (系统) 中输入和输出之间的关系，并将其定义为输入和输出信号的拉普拉斯变换的比率。本节介绍频率传递函数 (频率响应函数)，它是频率的函数。
如测量列“傅里叶变换和卷积”中所述，重新显示线性系统的图1。
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图1线性系中的时间函数及其傅立叶变换
这里，除了作为脉冲响应h (t) 的线性系统的输入时间信号x (t) 之外，还假设输出时间信号是y (t) 。;
................................. （1）
也就是说，输出时间信号可以通过输入时间信号和系统的脉冲响应的卷积积分来表示。
另外，设x (t) h (t) y (t) 的傅立叶变换分别为X (f) H (f) Y (f)，根据卷积定理;
Y ( f ) = X ( f ) H ( f )................................. （2）
按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。
从公式 (2);
................................. （3）
公式 (3) 中的H (f) 称为传递函数。在FFT分析器中，也称为频率响应函数(频率响应功能，FRF)。传递函数通常是一个复数函数，用于描述系统频率轴上的传递特性。
在实际计算中，与功率谱或交叉频谱估计计算一样，
平均处理是必需的，但通过在公式 (3) 中添加平均处理，;
................................. （4）
或者;
................................. （5）
其中，顶部栏表示集合平均值 (相加平均值) 。
传递函数的推定计算是用公式 (4) 或公式 (5) 进行的吗?
在实际的FFT分析器中，传递函数计算既不是公式 (4)，也不是公式 (5)，原因如下:。
- 不能正确计算异步傅立叶频谱的平均值(相位是随机的，因此收敛到0)
- 不会改善系统的信噪比
实际的计算是在公式 (3) 右边的分母和分子上乘以输入信号x (t) 的傅立叶光谱的复共轭X (f) *。;
................................. （6）
按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。
换句话说，它的计算公式是系统输入和输出的交叉频谱Cxy (f) 除以输入功率频谱Pxx (f) 。此外，传递函数的估计计算;
................................. （7）
按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。如上所述，交叉频谱的平均化处理具有降噪效果。
因此，传递函数的估计计算用普通公式 (7) 进行。这称为交叉光谱法。
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图2在输出中加入噪声成分的传输系统的示例
如图2所示，考虑传输系统h (t)，其中与输入x (t) 无关的噪声分量n (t) 混合在输出中，并且假设输出是y (t) 。;
Y ( f ) = X ( f ) H ( f ) + N ( f ) ................................. （8）
按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。
................................. （9）
在此，通过充分平均化，Cxn (f) 收敛到0。;
............................... （10）
因此，可以看出公式 (7) 中的估计方法在如图2所示的传输系统中是有效的。进而，考虑使误差最小化的方法，设公式 (8) 中的误差分量N (f) 的期望值 (平均值) 为E (f) 。;
............................... （10）
将使其最小化的H (f) 的推定值设为H^ (f);
...................... （12）
接下来;
...................... （13）
因此，最小平方近似方法也表明表达式 (7) 是有效的估计值。
总而言之，采用公式 (7) 作为传递函数的估计方法的原因是;
- 通过交叉光谱法可以实现SN比的改善。
- 当输出中存在外部噪声时，通过求平均值可将随机误差降至最低
- 通过最小平方近似法，利用随机信号适用于非线性系统，使线性近似成为可能
- 在FFT分析器中，作为光谱计算的二次处理很容易计算
等已弃用的函数的缺少的支持。
最后，图3总结了实际FFT分析器的传递函数估计流程。
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图3 FFT分析器的传递函数推定计算的流程
2ch时间信号的捕获和频谱 (功率和交叉) 平均值是平均过程的循环，传递函数的计算是基于功率频谱 (2ch分钟) 和交叉频谱估计结果的后处理计算。它不仅可以计算传递函数，还可以计算相干函数γ2 (f)，可用于检查传递函数的可靠性。我们将在下一篇文章中讨论相干函数。
此外，通过对计算出的传递函数进行反变换 (IFFT)，还可以获得原始系统的脉冲响应。
最后，总结一下。
- 线性系统的输出由系统的脉冲响应和输入信号之间的卷积积分表示。
- 系统的传递函数可以定义为输入和输出信号的傅里叶频谱的比率，通常是复数函数。
- 在FFT分析器中，实际的传递函数估计方法是将输入和输出的交叉频谱估计值除以输入的功率频谱估计值，并将该方法与交叉频谱估计值进行比较。
称为勒法。 - 交叉光谱法的传递函数估计具有将随机误差最小化、对非线性系统进行线性近似等优点。
- FFT分析器可以计算相干函数以及传递函数，作为频谱估计的后期处理。
【关键词】
拉普拉斯变换、脉冲响应、卷积积分、卷积定理、传递函数、频率响应函数、FRF、功率谱、交叉谱、交叉谱法、最小平方近似、后处理计算、相干函数
【参考资料】
- “数字傅里叶分析 (2) -高级版-”由Kenichi Shirodo 新冠公司 (2007年) 撰写
- “信号处理”森下严、小畑秀文著计测自动控制学会 (19825年)
(摘自2014年9月19日发行的电子邮件杂志)
