基礎からの周波数分析（8)　「離散フーリエ変換（DFT）」

今回は、今までお話しした内容（フーリエ級数、フーリエ変換、サンプリングなど）を基にして、ディジタル信号処理の基本的な演算である離散フーリエ変換（Discrete Fourier Transform, DFT）についてお話しします。

図1-1及び1-2が、これまでの時間領域と周波数領域との関係を含む離散フーリエ変換を導出する説明図です。本シリーズでの前回（計測コラム emm136号）の図3と同様に、図1-1では、フーリエ変換対の左側の図が時間領域で右側が周波数領域、図1-2では、フーリエ変換対の上側の図が時間領域で下側が周波数領域となっています。

図1-1 離散フーリエ変換（DFT）を導出するための説明図

まず、時間信号x(t)（図1-1の (a) ）のフーリエ変換した周波数スペクトルX(f)（図1-1の (b) ）は最大周波数f_mで帯域制限されているとします。X(t)をサンプリング周期τ（サンプリング周波数1/τ）でサンプルした離散的な信号をx_τ(t)（図1-1の (c) ）とすると、そのフーリエ変換X_τ(f)は、図1-1の (d) のように周波数1/τで繰り返すスペクトルとなります。

図1-2 離散フーリエ変換（DFT）を導出するための説明図

次に、時間信号x(t)が有限の長さTの信号の場合、または無限の信号を時間窓Tで切り取って有限の長さとして（この操作はFFTアナライザでは時間窓にあたる）、信号を周期Tで無限に繰り返す時間信号（図1-2の (e) ）とみなすと、フーリエ級数展開が適用できて、そのスペクトルは周波数軸上に1/T間隔で離散的に並ぶ形（図1-2の (f) ）になります。

ここまでまとめますと、有限長で連続的な時間信号を周期的な関数とみなすと、それに対する周波数領域の関数は離散的なスペクトルとなり、逆に、帯域制限のある連続的な周波数関数を周期的な関数とみなすと、それに対応する時間信号は離散的な信号（サンプルされた時間信号）となることが分かります。

これらの結果から、サンプリング周波数1/τでサンプルされた、有限時間窓長Tの時間信号のフーリエ変換がどうなるかを示した図が、図1-2の (g) と (h) です。すなわち、有限時間窓長Tの離散的な時間信号を周期的な関数とみなすと、それに対応する周波数関数も、離散的でかつ有限な周期的関数となります。

このことから、サンプルされた有限の時間信号をフーリエ変換することができ、その結果も有限で離散的な周波数スペクトルが導かれ、ようやくディジタル信号処理によるフーリエ変換であるDFTが可能となります。

次に、DFTの計算式を導出します。

時間波形x(t)をサンプリング周期τでサンプルすると、その時系列は；

x(τ)、x(2τ)、x(3τ)、・・・・、x(nτ)、・・・

となります。この時系列信号は、デルタ関数を使って；

.................................（1）

と表すことができます。式（1）のフーリエ変換をとすると；

.................................（2）

となります。ここで、時間信号を有限化します。有限時間窓長をTとすると、サンプリング周期がτなので、時間データはN（= T/τ）点だけ存在してその他は0とおきます。

.................................（3）

これから、は；

.................................（4）

は、時間信号を周期Tの周期信号とみなすと基本周波数1/Tで離散化されるので、基本周波数をf₀（= 1/T）としてとおくと、式（4）は結局；

.................................（5）

と変形することができます。式（5）をサンプルされた時間信号の離散フーリエ変換（DFT）と呼びます。N点の離散的で有限な（かつ周期的な）時間信号からDFT演算によって、同じくN点の離散的で有限な（かつ周期的な）周波数関数が得られることになります。

次に、DFTの逆演算を求めるために、式（5）の両辺にをかけて離散周波数kについて積分をします。

...........................（6）

ここで、複素指数関数の直交性により；

となりm = nの場合だけ考慮すればよいから、式（6）の右辺は結局となります。

これから；

.................................（7）

式（7）が離散フーリエ逆変換（Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT）の定義式です。

ここで、簡単に記述するためにと略記すると、式（5）、式（7）は；

.................................（8）

.................................（9）

と表現できます。式（8）が離散フーリエ変換（DFT）、式（9）が離散フーリエ逆変換（IDFT）、両式が離散フーリエ変換対です。
ここで注意することは、時間関数xn、周波数関数Xkの両方ともN点を1周期とする周期的関数となることです。また、通常のフーリエ変換から離散フーリエ変換を導き出すために特別な数学的近似はしていませんが、DFTを利用するためには大きな制限を仮定しています。それは、時間関数の離散化と有限化です。
第1の離散化に関しては、前回に説明したようにサンプルされた時間信号の周波数関数を正しく求めるためには周波数成分が帯域制限されている必要があります。このためにFFTアナライザではアンチエイリアシングフィルタが装備されており、周波数関数は必然的に有限化されることになります。

第2の有限化に関しては、現実的に数値計算するためには有限データしか扱えないこともありますが、周波数領域の関数も離散化するためには、たとえ無限の時間関数でも有限に切り取りそしてその有限データをくり返す周期的な関数とみなす必要があります（この切り取りに関しては図1-2では省略しています）。この時間信号を有限に切り取る操作を、FFTアナライザでは時間窓をかけると呼びます。この有限化の操作による誤差はFFTアナライザを使う上で、最も注意すべき項目の1つです。この時間窓の誤差と使い方に関しては後述します。

これらの注意点を考慮して使うことにより、離散フーリエ変換（DFT）は連続的なフーリエ変換とほぼ同じ結果を導き出すことができ、ディジタル信号処理の分野で非常に実用的なかつ強力な計算手法と言うことが出来ます。

最後に、まとめです。