这次我们将讨论离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform, DFT)，这是数字信号处理的基本操作，基于我们目前所讨论的内容(傅里叶级数、傅里叶变换、采样等)。
图1-1和1-2是用于推导离散傅立叶变换的示意图，该变换涉及常规的时域与频域关系。与本系列中先前的图3 (测量栏emm136) 类似，在图1-1中，傅立叶变换对左侧的图为时域，右侧为频域，在图1-2中，傅立叶变换对上方的图为时域，下方为频域。
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图1-1用于导出离散傅立叶变换 (DFT) 的说明图
首先，假设时间信号x (t) (图1-1中的 (a) ) 的傅立叶变换频谱X (f) (图1-1中的 (b) ) 受最大频率f m的限制。假设以采样周期τ (采样频率1/τ) 对X (t) 采样的离散信号是xτ (t) (图1-1中的 (c) )，则傅立叶变换Xτ (f) 是以频率1/τ重复的频谱，如图1-1中的 (d) 所示。
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图1-2用于导出离散傅立叶变换 (DFT) 的说明图
接下来，如果时间信号x (t) 是一个具有有限长度T的信号，或者如果我们用时间窗T截取无限长的信号作为有限长度 (此操作对应于FFT分析器中的时间窗) 并将其视为在周期T中无限重复的时间信号 (图1-2中的 (e) )，则可以应用傅里叶级数展开，其频谱在频率轴上以1/ T间隔离散排列 (图1-2中的 (f) ) 。
总之，如果将有限长度的连续时间信号视为周期函数，则频域函数将是离散频谱;相反，如果将具有带宽限制的连续频率函数视为周期函数，则相应的时间信号将是离散信号 (采样时间信号) 。
图1-2中的 (g) 和 (h) 图示了根据这些结果在采样频率1/τ下采样的具有有限时间窗长度T的时间信号的傅立叶变换发生的情况。换句话说，如果具有有限时间窗口长度T的离散时间信号被视为周期函数，则相应的频率函数也是离散且有限的周期函数。
这允许对采样的有限时间信号进行傅里叶变换，得到有限且离散的频谱，最后允许DFT (数字信号处理的傅里叶变换) 。
然后推导DFT公式:。
如果在采样周期τ中对时间波形x (t) 进行采样，则其时间序列为;
x(τ)、x(2τ)、x(3τ)、・・・・、x(nτ)、・・・
按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。这个时间序列信号使用增量函数;
.................................（1）
) 中被调用，将出现故障。假设公式 (1) 的傅立叶变换为;
.................................（2）
按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。现在，我们将时间信号有限化。设有限时间窗长为T,采样周期为τ，时间数据只存在N (=T/τ) 点，其余为0。
.................................（3）
从现在开始，;
.................................（4）
如果将时间信号视为周期T的周期信号，则在基频1/ T处将其离散化。因此，如果将基频设为f0 (=1/ T)，则公式 (4) 最终为;
.................................（5）
,来对图层特性管理器中的更改进行分组。方程 (5) 称为采样时间信号的离散傅里叶变换 (DFT)。对于N个离散的有限 (和周期的) 时间信号，DFT计算产生N个离散的有限 (和周期的) 频率函数。
然后，为了求出DFT的逆运算，乘以式 (5) 的两边，对离散频率k进行积分。
...........................（6）
这里，复指数函数的正交性;
由于只需考虑邻接m=n的情况，因此公式 (6) 的右边是结果。
接下来;
.................................（7）
表达式 (7) 是离散傅里叶逆变换(Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT)的表达式。
在此，为了简单说明，简写为，式 (5)、式 (7);
.................................（8）
.................................（9）
) 中被调用，将出现故障。表达式 (8) 是离散傅立叶变换 (DFT)，表达式 (9) 是离散傅立叶逆变换 (IDFT)，这两个表达式都是离散傅立叶变换对。
请注意，时间函数xn和频率函数Xk都是以N点为一个周期的周期性函数。此外，我们没有对从常规傅立叶变换导出离散傅立叶变换进行任何特殊的数学近似，但它对DFT的使用有很大的限制。时间函数的离散化和有限化。
对于第一个离散化，必须对频率分量进行带宽限制，才能正确计算上一次讨论的采样时间信号的频率函数。因此，FFT分析器具有抗锯齿过滤器，这意味着频率函数必然是有限的。
关于第二种有限化，为了实际进行数值计算，有时只能处理有限数据，但为了离散化频域函数，有必要将无限的时间函数视为定期函数，对有限数据进行有限剪切并重复该有限数据 (图1-2中省略了该剪切) 。对时间信号进行有限剪切的操作在FFT分析器中称为应用时间窗。使用FFT分析器时，此有限操作的误差是最重要的问题之一。关于这个时间窗的误差和使用方法将在后面叙述。
考虑到这些问题，离散傅里叶变换 (DFT) 可以得到与连续傅里叶变换几乎相同的结果，在数字信号处理领域是一种非常实用且功能强大的计算方法。
最后，总结一下。
- 没有周期性的连续的时间函数通过傅立叶变换，频率函数也成为没有周期性的连续函数 (傅立叶变换) 。
- 经离散化的时间函数的傅立叶变换为周期性连续频率函数 (离散时间傅立叶变换) 。
- 周期连续时间函数的傅里叶变换是离散频率函数 (傅里叶级数展开) 。
- 被离散化的周期 (有限) 时间函数的傅立叶变换在频率轴上也被类似地离散化并且成为周期 (有限) 频率函数 (离散傅立叶变换) 。
- N点的数字时间数据的离散傅立叶变换 (DFT) 在频率轴上也同样为N点频率数据，都是以周期N反复进行的周期函数。
【关键词】
傅里叶级数、傅里叶变换、采样、离散傅里叶变换、DFT、频谱、采样周期、采样频率、离散傅里叶逆变换、IDFT、离散傅里叶变换对、抗混叠滤波器、时间窗口
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【参考资料】
- “快速傅立叶变换”E.ORAN BRIGHAM著科学技术出版社
- “数字傅里叶分析 (I) -基础-”由Kenichi Shirodo 新冠公司撰写
- “信号处理”森下岩/小畑秀文共著朝仓书店
(摘自2013年3月22日发行的电子邮件杂志)
