振動解析 -29「応答スペクトル -6」

前回で例題を解きましたが、文献で説明されている強制振動の一般解と比較してみましょう。

外力Fsinωtが質量mに働いたときの運動方程式は

mx"＋Cx'＋kx＝Fsinωt ・・・（21）

x"＋2ζωox'＋ωo^2x＝fsinωt ・・・（22）

ただし、ωo＝√(k/m)、f＝F/m、ζ＝C/Cc＝C/(2√(mk))

この解は

　　x＝Ce^(-ζωot)cos(√(1-ζ^2)ωot−Φ)
　　　＋A/√[{(1-(ω/ωo)^2}^2＋(2ζω/ωo)^2]* sin(ωt-θ) ・・ (23)

　　　　 A＝f/(ωo^2)＝F/k
　　　　　θ＝tan-1[2ζ(ω/ωo)/{1-(ω/ωo)^2}]

　　　CおよびΦは初期条件から決まる定数

第1項は時間が経つと、振幅は減衰して小さくなります。よって継続する強制振動による応答は第2項のみ考えればよく、　　　　　　　　　　　　　

第1項は過渡応答を示します。

　　x＝Ce^(-ζωot)cos(√(1-ζ^2)ωot−Φ)　　　　　・・・（24）

第2項は定常応答を示します。
　　x＝ A/√[{(1-(ω/ωo)^2}^2＋(2ζω/ωo)^2]* sin(ωt-θ) ・・・（25）

前回の例題で取り上げた式（3）と式（22）を併記すると、

x''＋2ζωox'＋ωo^2x＝fsinωt ・・・（22）

x''＋12x'＋400x＝20cos10t ・・・（3）

係数を比較すると

10→ω、20→ωo、0.3→ζ、20→f

がわかります。前回の計算過程で数値を記号に置き換えて考えると式(25)が得られます。
sinωtはcos(ωt+π/2)とcosの90度進んだ波形ですので、位相差を考慮すればsinもcosも同様に考えることができます。　

さて、定常応答の式(25)の振幅に注目します。周波数がωの時の振幅は

　　x/A＝1/√[{(1-(ω/ωo)^2}^2＋(2ζω/ωo)^2] 　　　　　　　　

ただし、A＝f/(ωo^2) ・・・（26）

式（26）は振幅倍率、あるいは応答倍率といわれています。

文献ではX軸にω/ωoをとり、色々なζの値でグラフ化され説明されています。

減衰をあらわす係数

ここでは例題の式（27）の応答倍率のグラフを描いてみました。

x''＋12x'＋400x＝20cosωt ・・・（27）

ωo＝20、ζ＝0.3を式(26)(23)に代入して

x/A＝1/√[{1-(ω/20)^2}^2＋{0.6ω/ωo}^2] ・・・（28）

A＝f/ωo^2

θ＝tan-1[(0.6ω/20)/{1-(ω/20)^2}] ・・・（29）

下図は式（28）、（29）をグラフにしたものです。

図1：例題の1自由度系強制振動モデル

図2：応答倍率

図3：X,Y軸を対数で表示した応答倍率

図4：位相差

ωがωo＝20、つまり強制振動の周波数が固有周波数に一致すると

x/A≒1/(2ζ) ・・・（30）

になります。
応答倍率が最大になるωmはωoより少し小さくなります。
式（25）を微分して、これが0になるωの値となります。（補足参照）

ωm/ωo＝√(1-2ζ^2) ・・・（31）

これを式(24)に代入すると最大応答は

(x/A)max＝1/{2ζ√(1-ζ^2)} 　・・・ (32)

ζ≪1では次のようになります。

ωm＝ωo　　
(x/A)max＝1/(2ζ) ・・・（33）

ωmはζが大きくなるほど固有周波数ωoより小さくなります。
図1はこのモデルを、図2は式(28)をグラフにしたもので、最大値はωmが約18(rad/s)のとき、1.75(倍)になります。
図3はX,Y軸を対数を取ってグラフにしたもので、ボード線図といいます。
Y軸の値は例えば最大値では

(x/A)max　(dB)＝20Log1.75＝4.86　（dB）
図3を見るとωが大きいところでは、ωが2倍になると約-12dBの傾斜（-12dB/octave、10倍では-40dBの傾斜 -40dB/decade）で直線的に減衰しています。
図4は式（29）の位相をグラフにしたもので、X軸を対数にとって描いています。ω＝ωoでは90degになり、ωが大きくなると180degに近づきます。
図3、4は気付かれたかと思いますが、FFTアナライザーではよく見かけるグラフです。FFTアナライザーを使い加速度/力、または加速度を2重積分した変位/力として実験的に図3を求めることができます。
外力が単一の周波数の振動応答を説明してきましたが、周波数の違う複数の外力が重なって働く場合も、おのおのの周波数の外力に対する応答を重ね合わせればよく、外力が複雑な波形はフーリエ変換できることを考えれば、FFTアナライザーを使う有意性はこのようなところにあるといえます。

＜補足＞
ωmを求める。　微分法の公式

y＝f(g(x))　
dy/dη＝dy/dz*dz/dη＝f'(g(η))g'(η)

を使います。

式（26）でη＝ω/ωoと置いて

　　y＝1/√[{(1-η^2}^2＋(2ζη)^2]　　
　　　＝[(1-η^2)^2＋(2ζη)^2]^(1/2)

極値の条件　dy/dη＝0より
　　dy/dη＝1/2*{(1-η^2)^2+(2ζη)^2}^(-1/2)*{-4η+4η^3+8ηζ^2}
　　　　　＝1/2*{(1-η^2)^2+(2ζη)^2}^(-1/2)*{η(-4+8ζ^2)+4η^3}
　　　　　＝0

また、η≠1、η>0 を考慮して

1/2*{(1-η^2)^2+(2ζη)^2}^(-1/2)≠0

これで両辺を割ると

{η(-4+8ζ^2)+4η^3}＝0

よって

　η＝√(1-2ζ^2)