在上一篇文章中，我们讨论了功率谱 (第1部分)，这是FFT分析仪作为电气测量仪器的最基本和最重要的功能。这次是继上次之后的功率谱 (第2部分) 。
再次重复前面的内容，功率谱是频率的函数，表示原始时间信号中各个频率所包含的功率（单位时间内的能量）。图 1 展示了使用 FFT 分析仪求取功率谱的概念示意图。正如图中所示，若用滤波器来说明，使用 FFT 分析仪求取功率谱，等价于将时间信号 x(t) 同时通过 L 个带宽为 Δf、特性极其陡峭的滤波器（L 是前面介绍过的频率轴上的分析线数，例如 L=800），并求出其均方值（功率）。
(注意:实际的FFT分析器不处理此信号。)
（带宽 Δ f）
[{"source":"图1 使用FFT分析仪求取功率谱的概念示意图"}]
这里的问题在于带通滤波器的带宽 Δf（它会影响功率值）。正如《频率分析基础（8）——“离散傅里叶变换（DFT）”》中所述，周期性时间信号具有离散的频率分布（线谱）。因此，对于周期性时间信号，其功率谱值几乎不会受到影响（参见图 2）。
[{
与此相对，不具有周期性的随机信号（非规则信号）的频谱是连续频谱，因此其功率值会随分析带宽 Δf 的变化而大幅改变（参见图 3 的示意图）。例如，比较带宽为 10 Hz 和 5 Hz 的情况，虽然具体取决于频谱的形状，但前者的功率值约为后者的 2 倍。为尽量减小这种影响，通常会将功率值按单位频率（1 Hz 带宽）进行归一化。按单位频率（1 Hz 带宽）归一化后的频谱函数称为功率谱密度函数（Power Spectral Density Function，以下简称 PSD）。具体而言，若前文《功率谱（之一）》中介绍的功率谱 P(k) 的频率分辨率为 Δf，则 PSD G(k) 为：
) 中被调用，将出现故障。
图3 连续光谱因分析带宽不同而产生的功率差异
使用傅立叶光谱X (k) 的PSD的定义式;
因此，以下为简便起见，省略极限进行说明。如前所述，X(k)是复数傅里叶系数 c k的 T 倍；
如下式 (4) 所示，频率分辨率Δf为FFT的时间窗长T的倒数。;
可以看出，式（3）与式（1）相等。
与功率谱P (k) 类似，时间信号x (t) 的均方 (总功率) 与PSD G (k) 之间的关系如下:;
,对PSD进行积分，可以得到时间信号x (t) 的均方。
PSD 用作放大器自噪声评估或随机振动试验的频谱形状，其物理单位为 V 2 /Hz；若以 EU 表示任意物理量，则单位为 EU 2 /Hz。特别是，当物理量为振动加速度时，也称为加速度谱密度（Acceleration Spectral Density，ASD）。若加速度单位为 m/s 2，则 ASD 的单位为 m 2 /s 3。
总之，功率谱密度函数 (PSD) 表示在原始时间信号中包含的每单位频率 (1 Hz宽度) 的功率 (每单位时间的能量) 的频率函数。
现在，假设时间信号x (t) 不是无穷大的波形，而是一个有限的时间波形，如冲击波形式。
-
图4 有限冲击波形及其分析时间窗长度
如《从基础开始的频率分析（6）——“傅里叶变换与卷积”》中所述，在公式(2)中，|X(k)| 2是能量谱，而 PSD 表示单位时间内的能量（功率），因此其形式是除以 FFT 时间窗长度 T。由此，在求取图 4 所示冲击波形的 PSD 时，例如，使用时间窗 T 1和 T 2得到的功率值会有所不同，因此还要对求得的 PSD 乘以时间窗长度 T。
这样得到的频率函数称为能量谱密度函数（Energy Spectral Density Function，以下简称 ESD）。若将 ESD 表示为 E(k)；
ESD 用于求取冲击波形等瞬态信号的能量分布。此外，与 PSD 一样，将 ESD 在整个频带上积分，结果等于原始时域信号的总能量（均方值乘以 T）。其物理单位为 V 2 s/Hz，或者当任意物理量记为 EU 时，单位为 EU 2 s/Hz。
FFT分析器使用不同的功率谱在带宽，PSD和ESD 3，如下表1所示。
表1 3种光谱的比较
|
光谱类型 |
物理意义 |
目标信号 |
物理单位 |
|
功率谱 |
各频带的功率分布 |
周期信号 |
EU |
|
PSD |
单位频率功率分布 |
连续随机信号 |
EU |
|
ESD |
单位频率能量分布 |
瞬态信号 |
EU |
【关键词】
功率谱、功率、线谱、随机信号、连续谱、功率谱密度函数、PSD、加速度谱密度、ASD、能谱、能谱密度函数、ESD
【参考资料】
- “光谱分析”日野干雄著朝仓书店(1977年)
- “数字傅里叶分析(I) -基础- ”Kenichi Shirodo, 新冠公司(2007年)
- “如何使用简单的FFT分析器”Yamaguchi·Ono编辑Ohm公司(1994年)
(摘自2014年1月23日发行的电子邮件杂志)
