基礎からの周波数分析（31）－「ケプストラム」

今回は、音声処理分野でよく利用される「ケプストラム解析」に関してお話します。

ケプストラム解析では、時間波形からパワースペクトルを求め、そのスペクトルデータを波形とみなしてそれを FFT して、そのスペクトル波形の周期性などを求めることができます。

また、ケプストラムを使うことにより、フィルタなどの系を通した時間信号から、そのフィルタ系の伝達特性を推定することができます。

一般に、実測された時間信号x(t)が、2種類の時間信号 f (t)とg(t)から成り立っているとして、x(t)から、 f (t)あるいはg(t)の信号情報を取り出すことを考えます。

まず簡単な例として、x(t)が、2つの信号の和である場合とします。すなわち、

x(t) = f (t) + g(t)

この例では、線形の演算なので、式(1)の両辺をフーリエ変換すると

X ( f ) = F( f ) + G( f )

すなわち、周波数領域でも、その周波数成分X ( f ) は、2 つの信号の周波数成分、F( f ) とG( f )の和となります。

ここで、図1のように、それぞれの周波数成分の帯域が違っていれば、フィルタ処理により(図2)、簡単に分離して取り出すことができます。

図1 和信号 x(t)のスペクトル

図2 フィルタリング処理による信号の分離

現実に得られる信号はこんな簡単な例は少なく、多くは、フィルタなどある線形系などの出力として得られる場合が一般的です。
いま、あるインパルス応答g(t)の線形系の入力信号が f (t)でその出力信号をx(t)とすると、

で、出力時間信号 x(t)は、 f (t)とg(t)との畳み込み積分となります。式(3)の両辺をフー
リエ変換すると

X ( f ) = F( f )G( f )

すなわち、その周波数成分 X ( f ) は、2 つの信号の周波数成分、F( f ) とG( f )の積となります。式(4)から、元の入力信号 f (t)を取り出すためには、G( f )の逆フィルタを求める必要があり、g(t)も未知の場合はなかなか困難です。そこで、式(4)において、積を和に変換できれば、帯域毎に分離するという上記の手法を使うことができます。具体的には、式(4)から、パワースペクトルを求めてそれの対数を取ることにより、2つの和成分として表現できます。
式(4)から、

P_xx ( f ) = P _ff( f )P _gg( f )

ここで、P_xx ( f ) = P _ff( f )P _gg( f ) は、各々x(t), f (t), g(t) のパワースペクトルを求め、両辺の対数を取ると

log P_xx ( f ) = log P_ff ( f ) + log P_gg ( f )

となり、和の形になります。ここで、上記の式(1)と同様な考えで、式(6)の左辺を時間データとみなしてフーリエ変換をすると、帯域分離することが可能になります。

このように、元の時間信号をフーリエ変換してパワースペクトルを求め、その対数データを再度フーリエ変換する手法をケプストラム解析と呼びます。ケプストラム（cepstrum）の横軸は、時間になり、通常の時間波形の時間と違うので、周波数（frequency）をもじって、ケフレンシ（quefrency）と呼びます。また、帯域制限することを、周波数軸上でのフィルタ（filter）をもじって、リフタ（lifter）と呼びます。周波数スペクトルとケプストラムの用語の対比をまとめると、表1となります。

表1 スペクトルとケプストラムの用語の比較

名称	スペクトル（spectrum）	ケプストラム（cepstrum）
横軸	周波数（frequency）	ケフレンシ（quefrency）
帯域分離	フィルタ（filter）	リフタ（lifter）

具体的な例として、音声の分析を考えます。人間の声は、声帯のパルス的な振動を音源として、喉や口腔などの声道でフィルタリング処理された音として発生されます。

図3 音声の発生モデル

図3において、音源(a)が f (t)、声道のスペクトル(b)に対応するのがg(t)、発生した音声
(c)が、観測される時間信号 x(t)に対応します。

図4 女性の声/あ/の時間波形とパワースペクトル（縦軸は対数）

図4は、成人女性の声（あ）の時間時間信号とその分析結果です。これから、声（あ）の基本周波数（ピッチ）は、約 225 Hzであることがわかります。図4下図のパワースペクトル（対数化）を更にFFTをして、ケプストラムを求めると、図5となります。

図5 女声/あ/のケプストラム

図5の横軸は、ケフレンシで単位は時間（s）です。
この図から、以下のことがわかります。図の赤点線（約 3.5 ms）より高いケフレンシ帯域は、声帯振動による音源に対応したケプストラム成分で、元のスペクトルの周期性（基本周波数とその高調波成分の繰り返し）を表しています。ピーク値が約450 msでスペクトルの間隔周期が約450 msとなりますから、その逆数は約220 Hzで、基本周波数220 Hzとその高調波成分の情報であることを示しています。
また、図の赤点線（約 3.5 ms）より低いケフレンシ帯域は、元の周波数軸上ではゆっくりした変化の情報ですので、声道のスペクトルを表しています。

次に、赤点線（約3.5ms）付近を境に高ケフレンシを0にしてリフタリング処理（ローパスリフタ）して、再度 FFT して周波数軸上に戻すと、図6の上図となります。これをリフタードスペクトルと呼び、元のパワースペクトルの包絡線（エンベロープ）に相当します。元のパワースペクトルとリフタードスペクトルを重ね書きしたものが、図7です。

このように、ケプストラム解析の用途として、スペクトルの周期情報の抽出、スペクトルの包絡線（エンベロープ）をもとめる、ことなどです。その他の応用としては、音の反射波などの分離などがあります。