「波形とFFT－6」6. フーリエ級数・フーリエ変換

6．フーリエ級数・フーリエ変換

（1）フーリエ級数フーリエ係数

（2）1 周期をT としたフーリエ級数フーリエ係数

上記（1）のx をx = 2πft = ωt、1 周期2π = T と置き換えて；

（3）複素フーリエ級数・複素フーリエ係数

オイラーの公式

を考慮して（2）は；

＜補足＞

一方、f(t) は実関数なので

よって

実関数の複素フーリエ係数はCm、m = 1 ～ M を計算すれば、あとは複素共役C_m^＊をとればよいことになります。
なお、 Cmの実数部と虚数部は、複素フーリエ級数展開することにより、正負の周波数成分にわかれ、フーリエ係数am、bm　の1/2となります。

（4）フーリエ変換、フーリエ逆変換

T を無限大に拡大することで、周期性のない波形【非周期関数】でもフーリエ級数に展開できるようにしたものです。
フーリエ係数 Cm を求める式も1 つの関数と考え、これをフーリエ変換といいます。f(t)はフーリエ変換の逆の計算をする関数と考えて、フーリエ逆変換といい、フーリエ変換、フーリエ逆変換を一対の式として考えます。

フーリエ変換

フーリエ逆変換

実部Re、虚部Imは

（5）離散的フーリエ変換フーリエ逆変換

実用性を考えると T は有限をとることになります。また、FFT アナライザではAD変換してサンプリングされたデータ列の有限個N をとり、フーリエ変換が実行されます。サンプリングすると【離散的】（連続していない飛び飛びの値）になりますから、T = Nh（h はサンプリング間隔の時間）よりT の代わりにN 個とすると、離散的フーリエ変換、フーリエ逆変換の第k項を考える（周波数はkωになるので）。

実部Re、虚部Imは

（6）離散的フーリエ級数、フーリエ係数

サンプリングされた離散値でフーリエ係数を求めるには、上記（5）を展開して次式で計算します。フーリエ級数、フーリエ係数と実部、虚部の関係を対比して記します。

＜フーリエ級数、フーリエ係数＞

第k項のフーリエ係数は；

第 k 項のフーリエ変換をフーリエ係数an、bn に一致するように2/N で考えると；

第 k 項のフーリエ係数の式またはRe [ F (kω) ]、Im [F (kω)]の式を使うと表計算ソフトで計算することができます。
ω = 2πfo のfo は1周期T の逆数です。T = Nh、N はサンプル数、h はサンプル時間間隔ですから、h が一定ならN は周波数分解能fo に関係します。

（7）フーリエ係数の計算例

前回で 10Hz と20Hz のcos を合成した；

のサンプルデータを作ってみました。
f (t)の式から時系列データを作り、f (t)の10Hz のフーリエ係数の計算をするにあたり、次のような数値を代入し計算してみましょう。

サンプル周波数1000Hz、
サンプル時間h = 1/1000 (s)、
サンプル数N = 2048
t = nh
n = 0、1、2、・・・2047

として

n、nh、f (nh)、cos (20πnh)、sin (20πnh)、f (nh) cos (20πnh)、f (nh) sin (20πnh)を順に A ～ G 列で計算します。
そして；

にて 10Hz のスペクトルa、b をN = 500（n = 0 ～ 499）とN = 2048（n = 0 ～ 2047）
の場合を求めると；

　　　　N = 500（Nh = 0.5s）の場合 a = 0.866 b = -0.500
　　　　N = 2048（Nh = 2.048s）の場合 a = 0.853 b = -0.508

Microsoft-EXCEL での計算の様子

f (t)の式から10Hz のスペクトルは；

　　a = cos 30 deg = 0.866　　b = sin 30 deg = 0.5

であることがわかっていますから、N = 500 のときは一致しますが、N = 2048 では少し差があります。これはフーリエ級数の仮定である「周期性」によります。

N = 500（n = 0 ～ 499 間で0.5 s 間）の場合は10Hz のちょうど5 周期分になりますが、N = 2048 では10Hz の整数倍になっていません。

次図 A のようにちょうど1 周期（またはその整数倍）になるようにN をとると、同じ波形が連続で続いて描くことができますが、1周期（又はその整数倍）とならないN では不連続になります（図B）。
不連続点があると、その中間点をとることで連続となりますから、中間点で滑らかに繋がった波形として近似計算がおこなわれます。