6.傅里叶级数-傅里叶变换
(1) 傅里叶级数傅里叶系数
(2)以1周期为T的傅里叶级数傅里叶系数
将上述 (1) 的x置换为x=2πft=ωt,1周期2π=T。;
(3)复傅里叶级数和复傅里叶系数
欧拉公式
考虑到 (2);
<补充>
另一方面，f (t) 是实函数，
所以
实函数的复傅立叶系数计算为Cm、m=1~M,之后只需取复共轭C m*即可。
另外，Cm的实数部分和虚数部分，通过展开复傅里叶级数，分为正负频率成分，为傅里叶系数am、bm的1/2。
(4)傅立叶变换、反傅立叶变换
通过将T扩大到无限大，即使没有周期性的波形 【非周期函数】 也可以展开成傅里叶级数。
计算傅里叶系数Cm的公式也是一个函数，称为傅里叶变换。f (t) 是计算傅立叶变换的逆函数，称为傅立叶逆变换，将傅立叶变换、傅立叶逆变换作为一对公式来考虑。
傅里叶变换
傅里叶逆变换
实部Re、虚部Im
(5)离散傅立叶变换傅立叶逆变换
考虑到实用性，T是有限的。此外，FFT分析器采用AD转换采样的有限N个数据列，并执行傅里叶转换。采样后为 【离散的】 (不连续的跳跃值)，因此，由T=Nh (h为采样间隔的时间) 代替T而设N个时，考虑离散傅立叶变换、傅立叶逆变换的第k项 (频率为kω) 。
实部Re、虚部Im
(6)离散傅里叶级数、傅里叶系数
若要使用采样的离散值计算傅里叶系数，请展开 (5) 并使用以下公式:。对比记录傅里叶级数、傅里叶系数与实部、虚部的关系。
<傅里叶级数、傅里叶系数>
第k项的傅立叶系数;
若将第k项的傅立叶变换考虑为与傅立叶系数an、bn一致的2/N;
使用第k项的傅立叶系数的公式或Re [F (kω) ]、Im [F (kω) ] 的公式可以用电子表格软件进行计算。
ω=2πfo的fo是1周期T的倒数。由于T=Nh, N表示采样数，h表示采样时间间隔，因此，如果h是恒定的，则N与频率分辨率fo有关。
(7)傅里叶系数计算示例
上次合成了10Hz和20Hz的cos。;
我尝试制作样本数据。
利用f (t) 的公式制作时间序列数据，计算f (t) 的10Hz的傅立叶系数时，代入以下数值进行计算。
- 采样频率1000Hz,
- 采样时间h=1/1000 (s)，
- 采样数N=2048
- t = nh
- n = 0、1、2、・・・2047
作为
计算A到G列中的n、nh、f (nh)、cos (20πnh)、sin (20πnh)、f (nh) cos (20πnh) 和f (nh) sin (20πnh) 。
然后;
用10Hz的光谱a、b求N=500 (n=0~499) 和N=2048 (n=0~2047)
的情况;
如果N=500 (Nh=0.5s) a=0.866 b=-0.500
如果N=2048 (Nh=2.048s) a=0.853 b=-0.508
使用Microsoft-EXCEL进行计算
由f (t) 公式得出10Hz的光谱;
a = cos 30 deg = 0.866 b = sin 30 deg = 0.5
,因此，当N=500时匹配，但当N=2048时略有不同。这取决于傅里叶级数的“周期性”假设。
如果N=500 (0.5 s在n=0~499之间)，它是5个周期10Hz,但是N=2048不是10Hz的整数倍。
如下图A所示，如果取N使得它恰好是一个周期 (或其整数倍)，则可以连续绘制相同的波形，但是N不是一个周期 (或其整数倍) 将是不连续的 (图B) 。
若有不连续点，取其中间点即为连续，因此近似计算是在中间点平滑连接的波形。
10Hz的傅立叶系数;
a=0.866 b=-0.5
更改为
按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。此外，此等式也可以由Re=0.866、Im=-b=0.5;
中选择新的扶手类型，来修改默认的扶手。
同样，如果计算其它频率分量，则观测波形f (t);
按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。
这是FFT分析器的概念。
(摘自2007年5月24日发行的电子邮件杂志)
