4.相位用cos和sin表示 (实部、虚部)
到目前为止，我看到了cos波和sin波。观察此波形时，频率f是恒定的，并且在t=0时存在相位差。这种相位差称为 [初始相位]，但让我们考虑一种表示此相位的方法。
总之，
“观测到的波形Kcos (2πft+θ) 为Acos2πf+Bsin2πf,用振幅A、B表示。”。sin波也可以用同样的方式表示。
了解这一点后，傅里叶级数和之后的功率谱就会非常接近。
我学到cos, sin描绘了圆形球体阴影的时间过程。这在图1显示。
图1圆形运动球体阴影的时间过程
cos、sin是图1中用符号表示的波形，所以在公式中出现cos、sin时，想象一下这个波形，把公式换成单词来理解吧。
恕我直言，三角函数的基本公式之一
cos(a＋b)＝cosa cosb−sina sinb ・・・（1）
的双曲余切值。
将相位θ、振幅K、频率f的cos波代入公式 (1) 。
a=2πft, b=θ (初始相位)
所以，
Kcos(2πft＋θ)＝K{cosθcos2πft−sinθsin2πft}
在这里，sinθ、cosθ是常数，如果设置为Kcosθ=A、Ksinθ=B的话
Kcos(2πft＋θ)＝Acos2πft−Bsin2πft ・・・（2）
tanθ＝sinθ／cosθ＝B/A、 ・・・（2‘）
A＝Kcosθ、 B＝Ksinθ
A^2＋B^2＝K^2*{(cosθ)^2＋(sinθ)^2}＝K^2 ・・・（2“）
公式 (2) 的左侧是要观察的波形。因此，公式 (2) 显示“被观测的波形 (这种情况下是初期位相θ的cos波)，可以用cos的振幅A和sin的振幅B来表示。”。
如果您有足够的空间，请分别计算右侧和左侧并确保它们相同。
相反，若知道A、B,则可求出实际观测到的波形cos的振幅K、相位θ。
图2图示了t=0时K、θ、与A、B的关系。
图2具有初始相位的cos波
f (t) =K cos <ORG4> (2πft+θ) =A cos 2πft-Bsin 2πft
-
FFT分析器要求A、B。然后由A、B计算K、θ并表示。K=√ (A^2+B^2) tαnθ=B/A
实际上，“FFT分析器正在寻找频率为f的A和B”。
A、B以复数A+jB表示，A称为 【实部 (Real part) 】，B称为 【虚部 (Imaginary part) 】，在测定画面中分别取首字母表示Real、Imag的文字。实部和虚部称为 【复傅里叶光谱】，简称 【傅里叶光谱】 。
虽然突然变成了复数，但与公式 (2) 中的A、B相同，表达方式不同。实部是cos的项，虚部是sin的项，这样想的话就容易理解了。
根据求得的A和B,再通过计算可求得实际波形的振幅K 【Mag】 和相位θ 【Phase】，这也是傅里叶光谱的表示方法之一。
并且，注意K^2,而不是K,“具有信号量的平方维度的量”称为 【功率】，K^2称为频率f的 【功率谱】 。
功率谱通常以对数10LogK^2表示，或以平方根√K^2 (=K) 表示。√K^2表示功率谱的线性表示。
在DS2000系列中，利用触发功能测量任意振幅的100Hz cos波，显示Real、Imag、K、θ、10LogK^2的画面。
计算数据之间的关联。另外也补充说明了复数，请参考。
图3
以任意振幅输入100Hz的cos波，在适当的水平触发测量。由于它是cos波，因此采用单振幅 (0-P) 显示以便于理解。此外，相位的X轴易于放大。
当您读取测量数据时:。
左上:TIME波形 (峰值) 0.876V
左下:功率谱 (0-P表示) -1.14dBV
中上:线性表示的功率谱 (0-P表示) 0.877
中下:相位65.7deg
右上:实部 (0-P表示) 0.361V
右下:虚部 (0-P表示) 0.799V
从这些数据来看，如果我们看一下这个故事的数据关系，它将如下所示。
FFT (快速傅里叶变换) 求出图3右上方、右下方的数据A、B。
A (实部) =0.350V, B (虚部) =0.804V
由此，输入波形的振幅K、初始相位θ为;
𝐾=√(〖0.361〗^2+〖0.799〗^2 )=0.876" " (𝑉)
𝜃=𝑡𝛼𝑛^(−1) (0.799/0.361)=65.6 (𝑑ⅇ𝑔)
该值显示在图3的中上和中下数据中。TIME波形是;
𝑓(𝑡)=0.876 cos(2𝜋𝑓𝑡+𝜃) 𝜃=65 (𝑑ⅇ𝑔)
中选择新的扶手类型，来修改默认的扶手。功率谱;
10 log〖𝐾^2 〗=20 log0.876=−1.15 (𝑑𝐵𝑉)
补充说明
关于实部、虚部
实部、虚部是复数函数中出现的用语。欧拉公式;
𝑒^((𝑗𝜙) )=cos𝜙+𝑗 sin𝜙 ・・・・・・（3）
𝑒^((−𝑗𝜙) )=cos𝜙−𝑗 sin𝜙 ・・・・・・（4）
e:自然对数的底 (=2.718 ・・・・・・)，j:j2=-1的值
欧拉公式也包含指数函数，所以被称为复指数函数。复指数函数是一个方便的符号，cos和sin通过j合并表示复数，并且可以同时处理cos和sin。不带j的数字A称为 【实数】，带j的数字jB称为 【虚数】 。此外，不带j的项A称为 【实部】，带j的项B称为 【虚部】 。在FFT分析器的情况下，可以将实际部分理解为cos项，将虚部分理解为sin项。
那么，等效于公式 (2) 的复函数公式;
Ke^j (2πft+θ) =K cos <ORG9> (2πft+θ) +jK sin <ORG3> (2πft+θ) ・・・・・・ (5)
当t=0时;
Ke^ ( (jθ) ) =K cos <ORG9>θ-jKsin <ORG3>θ=A+jB ・・・・・・・・・・・ (6)
另外;
Ke^ ( (-jθ) ) =K cos <ORG9>θ-jKsin <ORG9>θ=A-jB・・・・・・・・・・・ (7)
式 (6)、式 (7) 在复平面(高斯平面:X轴为实部，Y轴为虚部)中，实际上是对称的关系，被称为 【共轭复数】 。下图4用复平面 (高斯平面) 表示公式 (6) (7) 。
𝑓(𝑡)=𝐾ⅇ^((𝑗𝜃) )=𝐾 cos𝜃+𝑗𝐾 sin𝜃=𝐴+𝑗𝐵
𝐴=𝐾 cos𝜃 、𝐵=𝐾 sin𝜃 、𝑡𝛼𝑛𝜃=𝐵/𝐴
𝐾=√(𝐴^2+𝐵^2 )
图4
让我们比较表达式 (2) 和表达式 (6) (7) 。如果忽略极性±，则A、B、K、θ的关系均为相同关系。FFT (快速傅里叶变换) 计算是一个复数计算，但如果您认为您正在寻找cos的A项和sin的B项，则类似于理解FFT分析器。
当您保存显示数据时，您经常保存功率谱，这存储K^2数据。因此，根据再生的功率谱K^2无法求出A、B、相位θ，因此无法通过式 (2) 返回时间波形。傅立叶光谱存储A和B。
测量画面显示的“Mag”中，功率谱和傅立叶光谱的保存数据也会有差异，这一点需要注意。
点
- 观测到的波形Kcos (2πft+θ)
可用“Acos2πft+Bsin2πft”表示。
K cos(2πft+θ)=Acos2πft+Bsin2πft
K^2=A^2+B^2,tanθ=B/A - FFT分析器计算频率f的A、B。
(摘自2007年3月22日发行的电子邮件杂志)
