技术报告关于FFT分析器10
给出两个时间函数f1 (t)、f2 (t) 时
(公式6-1)
中定义的函数f (t) 称为f1 (t) 和f2 (t) 的卷积积分。公式6-1的符号表示如下公式6-2所示。此外，交换定律在这里成立。
(公式6-2)
卷积积分的傅立叶变换为:
(公式6-3)
更改积分顺序:
(公式6-4)
现在考虑方括号 () 中的积分。f 1 (t) ←→F 1 (ω)，f 2 (t) ←→F 2 (ω)，如果t-τ=z,则t=z+τ，dt=dz;
(公式6-5)
所以;
(公式6-6)
即，时域中两个函数f 1 (t)、f 2 (t) 的卷积积分是每个函数的傅立叶变换F 1 (ω)、F 2 (ω) 的乘积 (频域) 。类似地，f 1 (t)、f 2 (t) 的乘积是各自傅立叶变换F 1 (ω)、F 2 (ω) 的频域的卷积积分。如果用←→表示傅立叶变换和逆变换，则可以用以下公式6-7表示。
(公式6-7)
6-1 考虑示例值列中的项内容。
以样例值列f (n) 中的某个点为中心计算时间宽度b之间的数据的平均值，然后将平均值作为某个点的值。考虑一个新的数字序列f b (n)，它通过将一个点依次移动到下一个点来计算平均值。这种方法称为移动平均。
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图6-1
例如，以某一点a 0为中心取±2个点，共计5个点，其移动平均的状态如图6-1所示。新创建的数据列A 0、A 1 ・・・・・;
(公式6-8)
上述公式可总结为:。
(公式6-9)
假设方波w (t) 的宽度为b,高度为1/b,面积=1,如图6-2所示。
(公式6-10)
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图6-2
考虑将公式6-10错开τ的情况;
(公式6-11)
将其替换为公式6-9中的1/b,则移动平均值为:;
(公式6-12)
求值时使用曲面法线的原始方向。
考虑上面的图6-1,有一个窗口如图6-2所示，除此之外什么都看不到，也就是说，从窗口看到的所有东西平均为窗口的中心值，就像火车的窗户一样一个接一个地移动。从这样看数据排列的意义出发，这个W (t) 叫做窗函数。
此外，图6-2中的窗不会像平面玻璃那样扭曲数据，而是均匀分布。这些窗口称为矩形窗口。还有其他窗口函数，如Hanning Window和Flattop Window,但这两种函数都通过加权 (权重) 对数据进行平均。图6-2的矩形窗口的窗口函数W (t) 的傅立叶变换为:
(公式6-13)
此函数如下图6-3所示，在FFT分析器中取b=T。
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图6-3
现在考虑频域的移动平均值。假设某波形的频谱为G (f)，将其乘以频率函数W (f) 并计算移动平均值，则与上式6-12相同，导出下式6-14。
(公式6-14)
公式中的W (f) 称为光谱窗口。
为了不通过平均化改变原始波形的功率，当在某一点上求平均值时，有必要保持左右对称性。
以W (f) 为例:。
考虑与图6-2相同的频域，这意味着W (f) 在一定频率范围内被剪切，并且W (f) 的移动平均值具有恒定的权重。
(公式6-15)
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图6-4
计算表达式的方差。方差σ 2是标准偏差的平方，表示为:。
(公式6-16)
矩形窗口由以下公式表示:。
(公式6-17)
此函数的形状与图6-3类似，其在中心较大，在远离中心时权重较小。
(a)矩形脉冲和 (b) 矩形窗口的作用是带通滤波器 (带通滤波器)，因为它们通过宽度之间的频率分量。对于矩形脉冲，带宽b (-b/2到b/2) 是清楚的，但是此矩形窗口不清楚带宽滤波器的带宽有多远。一种方法是计算每个窗口函数的方差，方差相等的矩形脉冲的宽度是该窗口的带宽 (称为相等信号带宽) 。
计算矩形窗口的方差;
(公式6-18)
方差等于矩形脉冲的矩形窗口的宽度由公式6-16和公式6-18确定。;
(公式6-19)
图6-5中的蓝线显示了这种情况。
一般来说，;
(公式6-20)
按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。
另外，如果求出式6-17进行逆傅立叶变换的函数W (f)，;
(公式6-21)
这是一个类似的矩形，在图6-2中替换为u=b/2。公式6-17和6-21如图6-5和6-6所示。
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图6-5 -
图6-6
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图6-7
