基于基础的频率分析 (35) -拉普拉斯变换和传递函数

上一次，我们将变换参数扩展到整个复数，并从傅里叶变换引入拉普拉斯变换。拉普拉斯变换已经发展成为一种简单求解微分方程的方法，但这次我们将讨论“传递函数”，这是电路系统和控制系统中最重要的分析方法。此外，还说明了如何根据传递函数计算表示系统频率特性的频率响应函数。

正如本系列“频率分析基础”中的“傅里叶变换和卷积”（声音测量示例 - 第 3 部分“使用声级计各种测量”）和“传递函数”（频率分析基础（17））所讨论的那样，当时间信号 a(t) 输入到脉冲响应为 h(t) 的线性系统中时，系统的输出 b(t) 可以表示为卷积积分。

.................................（1）

（注：h(t)=0 (t<0) 用于应用拉普拉斯变换。）

如传递函数 (根据基础频率分析 (17) ) 中所述，如果对表达式 (1) 的两侧进行拉普拉斯变换，则拉普拉斯变换的性质产生以下关系:。

B(s)=H(s)A(s)                                                              .................................（2）

(注意:初始值为0)

因此，系统输入和输出之间的关系在时间轴上是卷积积分 (公式 (1) ) 。在拉普拉斯变换 (s域) 中，输出由输入和系统的乘积给出 (公式 (2) ) 。这是一个简单的关系。从公式 (2)

.................................（3）

该H (s) 称为图1中系统(严格地说，线性不变系统)的传递函数。换句话说，传递函数是系统脉冲响应的拉普拉斯变换，定义为输入/输出时间信号的拉普拉斯变换的比率。

作为具体事例，在图2左侧的1自由度衰减振动系统中，将输入信号看作外部作用力f (t)，将输出信号看作响应位移x (t) 系统 (图2右侧)，利用拉普拉斯变换求出其传递函数。

如《振动测量基础-2》 (基于基础的频率分析 (23) ) 中所说明的那样，存在于该振动系统中的惯性力、粘性阻力、复原力的合力与外力平衡，因此运动方程式为:

按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。
求式 (4) 两边的拉普拉斯变换

因此，系统的传递函数H (s)

.................................（6）

中选择新的扶手类型，来修改默认的扶手。

2次滞后要素系 (如公式 (6) 分母为s的2次式的系) 的标准形是

.................................（7）

其中，ω _n:本征角频率ζ:衰减比 (衰减系数) K:增益常数

​
式 (6) 的振动系统的传递函数适用于标准型时，各参数

固有角频率

阻尼比

增益常数

.................................（8）

) 中被调用，将出现故障。

普通系统的传递函数通常用实系数的有理函数表示。

.................................（9）

(P (s) 和Q (s) 是实数系数s的多项式，设P (s) 的次数<Q (s) 的次数。))

) 中被调用，将出现故障。在公式 (9) 中，分母的根Q (s) =0的解称为极 (pole)，分子的根P (s) =0的解称为零点 (zero) 。例如，

.................................（10）

中，点为Z ₁，极为p _1和p ₂。在传递函数中，极点尤其重要。
例如，在振动时 (0<ζ<1)，求出图2的二次延迟要素系统的脉冲响应。

如前所述，脉冲的拉普拉斯变换为1,因此F (s) =1

.................................（11）

在此，设式 (11) 的分母=0的根 (即极) 为s ₁，s ₂，

.................................（12）

ωd:衰减本征角频率

,将公式 (11) 的右边部分展开，

.................................（13）

将公式 (13) 的X (s) 进行逆拉普拉斯变换

欧拉公式

比

.................................（14）

由结果 (式 (14) ) 可知，传递函数H (s) 的脉冲响应呈现在ζ<1时衰减和振荡的时间波形。从公式 (12) 和公式 (14) 可以看出，极点的实数部分 (负值) 决定衰减量，极点的虚数部分振动的频率 (衰减固有角振动数) 。此外，传递函数H (s) (式 (7) ) 的2个极 (式 (12) ) 为复共轭复数，位于半径ωn (本征角频率) 的圆上且位于s平面的左半部分 (实部<0)，如图4所示。

因此，可将极点和系统在s平面上的时间响应总结如下:。(图5)

1. 当极位于s平面的左半面 (实数<0) 时，响应衰减，系统稳定。
2. 当极点位于s平面的右半面 (实数>0) 时，响应发散，系统不稳定。
3. 当极为复数时，系统以特定频率 (衰减固有角频率) 振动。
4. 极越接近虚轴 (ζ―>0)，衰减越小.。
5. 当极在虚轴上时，振动持续 (以固有角频率振动而不衰减)，离原点越远，频率越高.。

传递函数和频率响应函数之间的关系如下:。

在传递函数H (s) 的系统中 (图1)
假设输入信号a (t) =sinωt,输出信号b (t)

.................................（15）

假设H (s) 的极都是单极，可以如下进行部分分数展开。

.................................（16）

由式 (13) 和式 (14) 可知，上述右边最初的n项是表示瞬态现象的项，
由于在稳定状态下只剩下最后的2项，因此设稳定项的时间信号为b _s (t) 时，

根据残数的求法，求出C ₁和C ₂进行整理，

.................................（18）

根据方程 (19) 的结果，除了瞬态响应之外的输出信号b (t) 相对于输入正弦波信号a (t) 具有不同的幅度。

您能看到加倍，并且相位偏移仅∠H (jω) 。换句话说，稳态正弦波与传递函数H (s) 的系统相加得到的频率响应 (振幅比和相位差) 等于H (jω) 的绝对值和相位角，得出s=jω。在S平面上考虑时，虚轴 (S=jω) 上的H (s) 值是系统的频率特性本身。中选择新的扶手类型，来修改默认的扶手。H (jω) 变为频率响应函数 (FRF) 在FFT分析器。

图6稳定正弦波的响应和频率响应函数的关系

若公式 (7) 中的传递函数H (s) 为s=jω，则可计算振幅放大率，详见“振动测量基础知识2” (基础频率分析 (23) ) 。

.................................（20）

如果增益常数K=1,则振幅因子增益为

.................................（21）

振幅倍率的相位角Φ (延迟为负角) )

.................................（22）

使用输入强制外力的频率作为变量，展开式 (21) 和式 (22) 如图7所示。您能看到振幅最大化，即谐振现象在系统的本征角频率ωn附近。此外，您可以看到相位角约为ωn并且它旋转 (延迟) 180度 (π) 。

系统的极点和零点与系统的频率响应之间的关系如下:。
以公式 (10) 的传递函数为例。(假设公式 (23) )

.................................（23）

z₁:零点

p ₁，p ₂:极

具有公式 (23) 的传递函数的系统的频率响应将s=jω代入

.................................（24）

考虑在虚轴 (jω) 上移动的点P,如果将从极和零点到P的矢量的长度和角度如图8所示，则H (jω) 的增益和相位是

.................................（25）

来定义自定义外观。换句话说，可以通过研究这些值在虚轴上移动点P (扫频) 时的变化来推断系统的频率属性。

例如，考虑公式 (7) 中的二次延迟元素系。

.................................（27）

当ζ < 1

.................................（28）

将s=jω赋值

.................................（29）

在图9中，增益和相位

.................................（30）

从图9和公式 (30) 和 (31) 可以看出以下内容。

1. 增益在衰减频率 (ωd) 附近最大
2. 相位在原点 (DC) 为0度，之后为单调递减
3. 本征角频率 (ωn)，相位必须为-90度 (-π/2)
4. 频率为无穷大，相位为-180度 (―π)

作为参考，用伺服分析器实测的二次延迟系统的板线图如下图所示。

最后是总结。

1. 传递函数定义为系统输入/输出时间信号的拉普拉斯变换的比率，是系统脉冲响应的拉普拉斯变换。
2. 通常，系统的传递函数通常由实系数的有理函数表示，其分母的根称为极点，分子的根称为零点。
3. 通过分析传递函数的极点和零点，可以了解系统的行为和频率特性。
4. 传递函数在s平面上的极点位置可用于评估系的稳定性、阻尼特性等。
5. 通过将s=jω赋给系统的传递函数，可以确定系统的频率属性或频率响应函数。
6. 通过在虚轴上移动点P (扫频) 并检查极点和零点之间的关系，可以估计系统的频率属性。

【关键词】

傅立叶变换、拉普拉斯变换、微分方程、传递函数、频率响应函数、卷积积分、s区域、脉冲响应、惯性力、粘性阻力、恢复力、运动方程、二次滞后要素系统、本征角频率、衰减比、增益常数、有理函数、极、极点、零点、零、衰减本征角频率、欧拉公式、s平面、瞬态现象、瞬态响应、振幅倍率、共振现象、伺服分析仪、板线图

【参考】

Harajima Hiroshi和Horiichi合着的“拉普拉斯变换和z变换”数学科学公司 (2004年)
Fumio Matsumura的“自动控制”朝仓书店 (1984年)

(摘自2017年9月21日发行的电子邮件杂志)