在本系列中，我们主要讨论了傅里叶变换 (包括傅里叶级数)，但这次我们将讨论拉普拉斯变换及其应用，也应该被称为其成员。
傅立叶变换将时域信号转换为频域信号 (函数)，这在物理上是相对明确的。与此相对，拉普拉斯变换将实时函数变换为s领域这一复数世界，虽然其物理意义不一定容易理解，但可以机械求解微分方程式，在工学上是非常方便的工具，经常用于电路和控制系统领域。傅里叶变换是角频率ω (实数) 的函数 (复数数据)，而拉普拉斯变换是复数s的复函数，需要了解复函数论才能准确理解。在这里，我们忽略数学严谨性并概述其特征。
在回顾前面提到的从基础 (4) -“傅里叶变换”的频率分析时，时间信号f (t) 的傅里叶变换F (ω)
.................................（1）
其中ω=2πf (角频率) f:频率
(注:频率变量以前用f表示，但这里用ω表示。)
。其中，公式 (1) 不一定收敛于无穷大积分。例如，
f (t) =1 (直流分量)
f (t) =t (斜率函数)
f (t) =sinωt (三角函数)
中选择新的扶手类型，来修改默认的扶手。(需要一个超函数，即增量函数。)
为了强制收敛，我们将 f(t) 乘以 e − σ (σ>0)（其中 σ 为实数），并且如果我们在负时间区域 (t<0) 内令 f(t)=0，则方程 (1) 变为
.................................（2）
,则常规函数会收敛。其中，复数 (σ+jω)
s=σ+jω .................................（3）
公式 (2)
.................................（4）
,公式 (4) 称为拉普拉斯变换。也就是说，拉普拉斯变换将傅里叶变换的jω (纯虚数) 扩展到复数s,使变换积分收敛。公式 (4) 将实数t的实函数f (t) 转换为复数s的复函数F (s) 。
我们省略了推导等内容，但逆拉普拉斯变换
.................................（5）
,称为Bromuch积分。计算式 (5) 需要具备复函数论的知识 (余数定理) 。实际使用时，可通过拉普拉斯转换表求出。
那么，在式 (4) 中，使用指数函数的直观意义在于，微积分能够简单进行，即e at的微分为ae at，e at的积分为
中的描述，指定导出选项。这在解微分方程时发挥作用。
实际常用的时间函数f (t) 的拉普拉斯变换F (s) 如表1所示。
表1代表性的时间波形的拉普拉斯变换表
| 时间波形 | f(t) | F(s) |
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δ(t) 脉冲 |
1 |
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u(t) 步骤 |
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e-a 指数函数 |
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sinωt 正弦波 |
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cosωt 余弦波 |
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e-asinωt 衰减正弦波 |
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例如，让我们计算正弦波的拉普拉斯变换。
根据欧拉公式，
所以
（注）为了使上述方程收敛，复数 s 的实部必须为正，即 Re(s) > 0。
如本例所示，拉普拉斯变换通常由无限积分定义，因此需要收敛条件。但是，一旦转化为复区域 (s区域)，F (s) 在复平面 (s平面) 的所有区域中的值都是有限的，除了未定义值(例如，在表1的第2行的阶跃波形中，s=0。)。
这个特征是转换成复数函数的巨大恩惠。(它可以通过称为复函数学分析连接的方法进行扩展。)因此，在实际应用中，对于拉普拉斯变换的收敛域不必过于在意。
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图1时域 (t域) 和复域 (s域)
那么，在解微分方程式之前，需要求出时间函数f (t) 的微分和积分的拉普拉斯变换。以下是详细说明，但省略了详细说明。
................................. (8) n重积分
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图2 1下一个低通滤波器
做一下解答微分方程式的例题吧。如图2所示，在输入x (t) 处
输入阶跃波形时，求响应时间波形y (t) 。
在图2中，假设电流为i
Ri+y(t)=x(t) .................................（9）
如果清除i
.................................（10）
拉普拉斯变换 (初始值为0)
RCsY(s)+Y(s)=X(t) .................................（11）
比例表
所以
(T=RC)
.................................（12）
请参阅拉普拉斯转换表
在表1的过滤器中输入阶跃波形 (图3的上图) 后，如图3的下图所示。这称为阶跃响应 (或增量响应) 。
T (=RC) 是时间常数，当输出达到输入的63.2%时，T值越小，上升响应越快，瞬态响应衰减越快。
使用拉普拉斯变换求解微分方程的方法是:在已变换的s域中，表达式可以被视为代数运算，并且可以使用拉普拉斯变换表几乎机械地求解。
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图3图1的滤波器的阶跃响应
如本例所示，通过使用拉普拉斯变换求解微分方程，可以得到电气或机械系统的瞬态响应。
下次我们将讨论传递函数和频率响应。
最后是总结。
- 拉普拉斯变换是一种可以机械求解微分方程的工具，通常用于电路和控制系统领域。
- 拉普拉斯变换将傅里叶变换的ωj扩展到复数s,使变换积分收敛。
- 拉普拉斯变换和反向拉普拉斯变换通常可以通过拉普拉斯变换表轻松计算。
- 使用拉普拉斯变换求解微分方程的方法是:在已变换的s域中，表达式可以被视为代数运算，并且可以使用拉普拉斯变换表几乎机械地求解。
- 通过使用拉普拉斯变换求解微分方程，可以求出电气系统和机械系统的瞬态响应。
【关键词】
傅里叶变换、傅里叶级数、拉普拉斯变换、微分方程、角频率、复函数、复函数论、超函数、纯虚数、拉普拉斯逆变换、布罗姆伊奇积分、留数定理、复领域、s领域、复平面、s平面、解析连接、收敛域、阶跃响应、指数响应、时间常数、瞬态响应
【参考】
原岛博、堀洋一共著“拉普拉斯变换与z变换”数理工学社 (2004年)
日野干雄著“光谱分析”朝仓书店 (1977年)
(摘自2017年7月25日发行的电子邮件杂志)
