从基础开始的频率分析 (25) 在“振动测量基础4”中，当我谈到衰减比时，我解释了对数衰减率方法。因此，作为计算对数衰减率的方法，介绍了使用希尔伯特变换从衰减自由振荡波形的包络线获得的方法。
这一次，我将谈论希尔伯特转换。
通常，我们可以观察到的时间信号是真实信号。为简单起见，考虑正弦函数x (t) 。
x(t)=Acos(ωt)=Acos(θ)
(1)如果振幅A和角频率ω时间不变，则表达式的实际信号x (t) 的值仅由时间变量确定，可以通过傅里叶频谱轻松确定。
其次，两者都随时间变化的情况 (下述的 (2) 式)
x(t)=A(t)cos(ω(t)t)=A(t)cos(θ(t))
在中，A (t) 和θ (t) (或ω (t) ) 是随时间变化的值，因此不知道哪一个发生了变化，并且实际信号x (t) 发生了变化。为了同时获得瞬时振幅A (t) 和瞬时相位θ (t)，时间信号x (t) 必须是复信号 (具有两个值)，而不是实际信号 (仅具有一个值) 。
如图1所示，关于正弦波函数，由于在复平面上旋转的点P (x, y)向X轴 (实轴) 上的投影能够看作余弦波，向Y轴 (虚轴) 上的投影能够看作正弦波，因此，只要能够由余弦波制作正弦波，就能够同时求出振幅A和相位θ。
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图1旋转的矢量OP和正弦波函数
用复数函数z (t) 表示点P的话;
按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。
正弦波函数，因为求出将余弦波函数的相位延迟90°，所以通过进行将实函数x (t) 延迟90°的操作，可以求出复函数z (t) 。希尔伯特变换是使这个任意时间函数位移90°的一种方法。
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图2从实函数到复函数的求法
实际函数x (t) 的希尔伯特变换) ∧x (t) 由x (t) 和1/πt的卷积定义。
即;
其中*是“卷积”，积分是柯西的主积分。
将公式 (7) 的两边进行傅立叶变换;
因此，如果对式 (8) 的两边进行逆傅立叶变换，;
这些流程如图3所示。
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图3使用FFT的希尔伯特变换
另外，虚数单位
乘以相当于将相位向前移动90度 (=π/2)，因此根据公式 (8) 和公式 (9)，希尔伯特变换的相位特性如图4所示。
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图4希尔伯特变换的相位特性
如图2所示，利用实函数x (t) 及其希尔伯特变换得到的复函数z (t) 称为x (t) 的分析信号 (Analytic Signal) 。
假设分析信号z (t) 的傅立叶变换为Z (f)，则Z (f) 具有以下特性 (图5) 。
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图5 Z (f) 的频率特性
换句话说，Z (f) 没有负频率分量。相反，利用该性质，可以使用FFT相对容易地计算分析信号z (t) 。
从实际信号x (t) 求分析信号z (t) 的步骤如下:。
- 对x (t) 进行FFT,获得X (f) 。
- 根据式 (12) 求Z (f) 。
- 对Z (f) 进行IFFT,求z (t) 。
综上所述，使用希尔伯特变换生成分析信号z (t) 后，可以得到实际信号x (t) 的瞬时振幅和瞬时相位。
瞬时振幅(包络线，包络)
瞬时相位
以下是具体的数据示例:。
图6是振幅调制 (AM) 正弦波的信封示例。
- 载波频率:5kHz
- 调制频率:100Hz
- 调制度:20%
从解调的包络波形和光谱可以看出，变化是20%。
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图6 AM调制波的包络(左:原始载波;中:包络;右:载波频谱)
如图7所示，根据衰减时间波形获得分析信号，然后计算瞬时振幅 (包络线) 以显示纵轴的对数，并根据该斜率通过对数衰减率方法确定衰减比。
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图7根据衰减时间波形和包络线数据求出对数衰减率和衰减比的例子
如果求出瞬时相位，通过对其进行时间微分，也可以求出瞬时频率。
瞬时频率f (t);
按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。
图8是对啁啾正弦信号的分析示例，其中正弦波从125 Hz快速地扫掠到100 kHz在8 ms的FFT时间窗口。X轴表示时间，Y轴表示频率，您可以看到频率线性变化至100 kHz。
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图8啁啾信号的瞬时频率(上:原始时间波形;中:瞬时相位;下:瞬时频率)
通过使用瞬时频率，可以求出旋转变动成分。
希尔伯特变换的另一个应用是检查系统的非线性，因为如果系统是线性的，系统传递函数的希尔伯特变换结果将等于原始传递函数。
最后，总结一下。
- 实际函数不能同时计算瞬时振幅和瞬时相位。
- 通过使用希尔伯特变换将真实信号转换为复时间信号，可以同时获得瞬时振幅和瞬时相位。
- 将实函数及其希尔伯特变换后的函数分别作为实部和虚部的复函数称为解析信号。
- 分析信号是没有负频率分量的函数。利用这一特性，可以相对容易地从实际函数x (t) 获得分析信号z (t) 。
- 求出瞬时相位后，通过对其进行时间微分，可以求出瞬时频率，还可以得到旋转变动信息。
- 希尔伯特变换的另一个应用是检查系统的线性。
【关键词】
实际信号、振幅、相位、瞬时振幅、瞬时相位、余弦波、正弦波、复信号、希尔伯特变换、卷积、相位特性、分析信号、分析信号、包络、包络、瞬时频率
【参考】
《数码傅里叶解析 (II) -高级篇-》城户健一编著新冠社 (2007年)
(摘自2016年9月26日发行的电子邮件杂志)
