本测量专栏收集了您经常向我们的客户咨询室询问的问题，并介绍了答案。这次我们将介绍一种根据FFT分析获得的功率谱计算功率谱密度 (PSD) 的方法。
当对非周期信号 (如随机信号) (具有连续频谱的信号) 进行FFT分析时，功率谱中每个分量的振幅值取决于FFT计算的频率分辨率Δf,并且随着分析条件的改变，该值将发生变化。在这些情况下，将使用功率谱密度 (PSD) 表示为每单位频率宽度 (1Hz) 的功率值，以便分析值与Δf无关。
功率谱与频率分辨率Δf的关系
执行FFT分析时，频率范围、采样点数和频率分辨率之间存在以下关系:。
- 行数 [点] =样本点 [点] ÷2.56
- 频率分解能Δf [Hz] =频率范围 [Hz] ÷行数 [点]
图1显示的是对具有连续频谱的信号进行FFT分析后得到的功率频谱。频率范围都是2 kHz,样品点数有512、1024、2048这三种。频率分辨率Δf分别为10 Hz, 5 Hz和2.5 Hz。
1 kHz分量的振幅值分别为0.515 m/s 2、0.337 m/s 2和0.234 m/s 2。对于理想的随机信号，当频率分辨率Δf减半时，振幅值为√2:1。
-
图1功率谱的样本数量的差异(上段:512点/Δf=10 Hz、中段:1024点/Δf=5 Hz、下段:2048点/Δf=2.5 Hz)
频率范围:2 kHz,样本点数:512进行FFT分析时，频率分辨率为10 Hz,得到以10 Hz为单位的功率谱。得到的功率谱的1000 Hz成分是从995 Hz到1005 Hz的成分的合计值，1010 Hz成分是从1005 Hz到1015 Hz的合计值，像这样，可以认为各个值是具有频率分辨率宽度的频带的合计值。
在频率范围:2 kHz、样本点数:1024点进行FFT分析时，频率分辨率为5 Hz,求出合计的带宽为一半，与在512点进行分析时相比，功率值 (振幅的2次方值) 为一半，因此振幅值为√1/2。
严格地说，在512点处获得的分析结果的1000 Hz值中，不仅包含从995 Hz到1005 Hz的成分，而且受开窗函数(汉宁窗、平顶窗)的影响，包含的成分范围稍广。即使采样点数、频率分辨率发生变化，开窗函数的影响也相同，因此频率分辨率Δf减半后，振幅值变为√2:1的关系保持不变。
功率谱密度 (PSD) 计算方法
由于功率值 (振幅平方) 与频率分辨率Δf成正比，因此要以每单位频率宽度 (1Hz) 的功率值表示功率谱，只需将功率谱中的功率值 (振幅平方) 除以Δf即可。
要计算功率谱密度 (PSD) (汉宁窗、平顶窗)，请使用以下公式:。
PSD=功率值÷ (Δf×Wf)
=振幅值2 ÷ (Δf×Wf)
其中Wf是每个窗口 (窗函数) 的校正值。在测量专栏179 (2016年8月) 中，我们介绍了计算全覆盖 (OA) 和部分覆盖 (POA) 时的校正值Hf,但是Hf的倒数是计算功率谱密度时的校正值Wf。
表1求PSD时窗口 (窗函数) 的校正值
| 窗口 (窗函数) | OA计算中的校正值 (Hf) | PSD计算中的校正值 (Wf) |
| 矩形窗口 | 1 | 1 |
| 汉宁 | 2/3=约0.6667 | 3/2 = 1.5 |
| 平顶 | 1/3.6714416356=约0.2724 | 3.6714416356 |
| 力 | 1 | 1 |
| 指数 | 1 | 1 |
功率谱密度 (PSD) 是功率值 (振幅平方) 除以频率分辨率Δf,单位为 [振幅值单位2 /Hz] 。如果振幅值的单位是m/s 2，则单位为 [ (m/s 2) 2 /Hz]，如果振幅值的单位是V,则单位为 [V 2 /Hz] 。
功率谱密度 (PSD) 值通常以 [振幅值单位2 /Hz] 为单位表示，但有时以其平方根表示。在这种情况下，PSD平方根值的单位表示为 [m/s 2 /√Hz]，[V/√Hz] 等。在比较过去测量的结果或被测量产品的规格时，有必要检查PSD值的单位是 [振幅值单位2 /Hz] 还是 [振幅值单位/√Hz]，并根据单位进行测量。
我们的FFT分析仪能够显示功率谱密度 (PSD) 。在这种情况下，您可以从V2或V中选择显示值。如果选择V2, PSD值将以 [振幅值单位2 /Hz] 为单位显示。选择V时，PSD的平方根值以 [振幅值单位/√Hz] 为单位显示。
根据加速度功率谱计算功率谱密度
将FFT分析器分析的加速度功率谱读入Excel的示例如表2所示。频率范围 (C6单元) 为2000 Hz,采样点数 (B7单元) 为1024个点，因此频率分辨率为5 Hz。A17到A417信元是频率值，从0 Hz到2 kHz每5 Hz。
Y轴刻度 (B14单元) 为Lin,因此这是通过将Y轴刻度设定为Lin进行测量的数据，B17至B417单元中的值是每个频率分量的物理值 (加速度) 。Y轴刻度为MagLog的数据是通过将Y轴刻度设置为Log/MagLog来测量的数据。在这种情况下，B17至B417单元的值也是每个频率分量的振幅值 (加速度) 。
在D17至D417单元中输入表2所示的公式后，功率谱密度 (PSD) 的值会显示在单元中。该值的单位为 [ (m/s 2) 2 /Hz] 。
B17到B417单元格中的值是有效值 (RMS值)，因为Y轴Magnitude (B16单元格) 为rms。因此，通过上述方法获得的功率谱密度 (PSD) 值也是有效值 (RMS值) 。
表2的内容可以从以下链接下载。
表2根据加速度功率谱计算功率谱密度的例子
| A | B | C | D | E | |
| 1 | Label: | CH2:功率谱 | |||
| 2 | DateTime: | Tue Oct 18 20:35:50 2016 | |||
| 3 | DataKind: | CH2 | PowerSpec | Mag | |
| 4 | DataPoints: | 402 | Filter: | FLAT | : |
| 5 | DataCalc: | ||||
| 6 | Frequency: | 0 | 2000 | Hz | |
| 7 | Sample: | 1024 | Internal | ||
| 8 | Average: | 681 | Power/Sum | ||
| 9 | Voltage（CH2）: | -10 | dBVrms | ||
| 10 | EU/V（CH2）: | 1.00E+03 | 0dBRef.（CH2）: | 1.00E+00 | |
| 11 | Window（CH2）: | Hann | |||
| 12 | X-AxisScale: | Lin | 频率分辨率 [Hz] | ||
| 13 | X-AxisUnit: | Hz | 5 | =C6/（B7/2.56） | |
| 14 | Y-AxisScale: | Lin | |||
| 15 | Y-AxisUnit: | m/s2 | PSD值 | 单元格公式 | |
| 16 | Y-AxisMagnitude: | rms | （m/s2）^2/Hz | ||
| 17 | 0.0 | 0.211 | 0.005917 | =（B17*B17）/（$D$13*1.5） | |
| 18 | 5.0 | 0.151 | 0.003042 | =（B18*B18）/（$D$13*1.5） | |
| 19 | 10.0 | 0.077 | 0.000800 | =（B19*B19）/（$D$13*1.5） | |
| 20 | 15.0 | 0.173 | 0.003980 | =（B20*B20）/（$D$13*1.5） | |
| 21 | 20.0 | 0.201 | 0.005400 | =（B21*B21）/（$D$13*1.5） | |
| 22 | 25.0 | 0.222 | 0.006581 | =（B22*B22）/（$D$13*1.5） | |
| 23 | 30.0 | 0.245 | 0.008021 | =（B23*B23）/（$D$13*1.5） | |
| … | |||||
根据电压信号功率谱计算功率谱密度
将FFT分析器分析后以分贝值表示的电压信号功率谱读入Excel的示例如表3所示。频率范围 (C6单元) 为2000 Hz,采样点数 (B7单元) 为1024个点，因此频率分辨率为5 Hz。A17到A417信元是频率值，从0 Hz到2 kHz每5 Hz。
由于Y轴刻度 (B14信元) 为Log,这是通过将Y轴刻度设置为Log而测量的数据，B17到B417信元中的值是每个频率分量的分贝值。
表3根据电压信号频谱计算整体的例子
| A | B | C | D | E | |
| 1 | Label: | CH2:功率谱 | |||
| 2 | DateTime: | Tue Oct 18 20:37:00 2016 | |||
| 3 | DataKind: | CH2 | PowerSpec | Mag | |
| 4 | DataPoints: | 402 | Filter: | FLAT | AnalogFilter（CH2）: |
| 5 | DataCalc: | ||||
| 6 | Frequency: | 0 | 2000 | Hz | |
| 7 | Sample: | 1024 | Internal | ||
| 8 | Average: | 681 | Power/Sum | ||
| 9 | Voltage（CH2）: | -10 | dBVrms | ||
| 10 | EU/V（CH2）: | 1.00E+00 | 0dBRef.（CH2）: | 1.00E+00 | ADOverHold（CH2）: |
| 11 | Window（CH2）: | Hann | |||
| 12 | X-AxisScale: | Lin | 频率分辨率 [Hz] | ||
| 13 | X-AxisUnit: | Hz | 5 | =C6/（B7/2.56） | |
| 14 | Y-AxisScale: | Log | |||
| 15 | Y-AxisUnit: | V | PSD值 | 单元格公式 | |
| 16 | Y-AxisMagnitude: | rms | V2/Hz | ||
| 17 | 0.0 | -73.53 | 5.9171E-09 | =（10^（B17/10））/（$D$13*1.5） | |
| 18 | 5.0 | -76.42 | 3.0421E-09 | =（10^（B18/10））/（$D$13*1.5） | |
| 19 | 10.0 | -82.22 | 7.9964E-10 | =（10^（B19/10））/（$D$13*1.5） | |
| 20 | 15.0 | -75.25 | 3.9802E-09 | =（10^（B20/10））/（$D$13*1.5） | |
| 21 | 20.0 | -73.93 | 5.3996E-09 | =（10^（B21/10））/（$D$13*1.5） | |
| 22 | 25.0 | -73.07 | 6.5810E-09 | =（10^（B22/10））/（$D$13*1.5） | |
| 23 | 30.0 | -72.21 | 8.0211E-09 | =（10^（B23/10））/（$D$13*1.5） | |
| … | |||||
在D17~D417单元中输入表3所示的公式后，功率谱密度 (PSD) 的值会显示在同一单元中。该值以V2/Hz为单位。将分贝值转换为振幅值的表达式是10^ (分贝值/20)，但这次我想将分贝值转换为功率值 (振幅2次方值)，因此表达式为10^ (分贝值/10) 我用过了。
B17到B417单元格中的值是有效值 (RMS值)，因为Y轴Magnitude (B16单元格) 为rms。因此，通过上述方法获得的功率谱密度 (PSD) 值也是有效值 (RMS值) 。
表3的内容可以从以下链接下载。
总结
这次我们介绍了一种根据FFT分析获得的功率谱计算功率谱密度 (PSD) 的方法。
本公司的FFT分析仪具有计算、显示功率谱密度 (PSD) 的功能，不使用该功能保存时，可使用此次介绍的方法进行计算。
功率谱密度 (PSD) 以每Hz的功率值 (振幅值的平方) 表示，其单位为振幅值单位2 /Hz,即 [ (m/s 2) 2 /Hz]、[V 2 /Hz] 等。
进行FFT分析，比较过去测量的结果和被测量产品的规格时，请确认过去的结果和规格是PSD还是单纯的功率谱，如果是PSD,则在确认值的单位是 [振幅值的单位2 /Hz] 还是 [振幅值的单位/√Hz] 后，结合单位和测量条件进行测量。
(摘自2016年10月20日发行的电子邮件杂志)
