最近，我被问到“傅立叶频谱和功率频谱的区别是什么?”，所以这次我将再次讨论傅里叶光谱。
小野测器DS/CF 系列 FFT 分析仪和 Oscope 时间序列数据分析工具有一个频率函数，称为傅立叶频谱和功率谱。
有关傅里叶频谱的详细信息，我们已经在基于此系列基础的频率分析 (11) -"傅里叶频谱"中进行了详细介绍，但现在我们将再次更具体地讨论该函数在上述FFT分析器中的含义和用途。
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图12ChFFT分析器的基本函数和处理流程
图1显示了典型FFT分析器的基本函数及其处理流程。如图所示，FFT的结果是有限的时间序列数据，该数据被剪切到一定的时间，并且功率谱是根据获得的傅立叶光谱计算的。
现在，被剪切的N点的时间序列数据x (n) (n=0,1, ...,N-1)的有限傅里叶级数;
其中:
按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。此外，FFT执行复数运算;
因此，复有限傅里叶级数;
这就是结果。这里，公式 (5) 是离散有限傅里叶变换（即 FFT），ck 被称为复傅里叶系数。Ono小野测器的 FFT 分析器将其称为傅里叶频谱。正如“频率分析基础（11）- 傅里叶频谱”中所述，傅里叶频谱 X(f) 的通常定义是复傅里叶系数 ck 乘以时间窗口长度 T 所得的值，但这里我们假设它们相等。
由于是离散的表记，如果将傅里叶频谱设为X (k) (=ck)，则X (k) 表示包含在时间序列数据x (n) 中的频率成分的大小 (强度)，成为复数。;
这里有一些关于振幅的注意事项。式 (1) 中只展开N/2点的有限傅里叶级数，式 (5) 中求出N点的复傅里叶系数。这是因为如果您将ck划分为N/2点作为边界的前半部分和后半部分，则它们将获得相同的信息。即，以N/2为中心，实数部分为线对称，奇数部分为点对称的关系 (复共轭) 。;
因此，将X (k) 看作单侧光谱，使用式 (3);
中选择新的扶手类型，来修改默认的扶手。公式 (11) 表示一定频率的正弦波的有效值。;
按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。|X (k) |有时称为振幅频谱，θ (k) 称为相位频谱。
因此，傅里叶频谱是具有每个频率的振幅和相位信息的复数。
然后，相位表示什么?
傅里叶频谱的相位指示该频率上的正弦波在FFT的时间窗中开始的位置，即在公式 (2) 中的初始相位φ k。然而，触发功能要求获得有意义的相位信息。
(示例1) x (t) =A cos (2πf t) 的振幅为A,相位为0 deg
(示例2) x (t) =A sin (2πf t) 的振幅为A,相位为-90 deg (=-π/2)
(例3) x (t) =A cos (2πf t) +B sin (2πf t) 的振幅为
如果相位为A=B=1,则振幅为√2,相位为-45 deg (=-π/4)
功率谱是傅立叶频谱振幅的平方。
如果以与傅立叶光谱相同的方式离散表示，则由公式 (11);
因此，功率谱是信号的均方 (=有效值的平方) 。功率谱丢失相位信息。
功率谱不用于瞬时光谱，而是用于平滑变化分量
为了提高随机信号的频谱估计精度，通常执行平均处理 (图1中的平均循环) 。
最常用的平均方法是加法平均值，如下所示:。
声音和振动信号的频谱分析通常不需要相位信息，因为我们想知道信号的强度，主要目的是测量方程 (14) 的平均功率谱。
表1傅立叶光谱和功率光谱的比较
| 傅里叶光谱 | 功率谱 | |
| 振幅信息 | ·信号的每个频率的强度 ·等于不平均的功率谱 |
·信号的每个频率的强度 ・相当于2次方平均值 |
| 相位 | 需要 (需要触发器) | 无 |
| 平均化 | 通常不能平均 | 我们可以通过平均来计算信号强度 |
| 其他 | 您可以使用IFFT重现原始时间序列数据 | 无法恢复原始时间序列数据 |
如表1所示，典型的频率分析使用功率谱而不是傅立叶频谱。傅里叶频谱的最大特点是提供相位信息，通常用于:。
- 由于存在幅度和相位 (实数部分和虚数部分) 信息，因此可以使用傅立叶逆变换 (IFFT) 来重现原始时间序列数据 (参见图1) 。此外，还可以通过限制频带来执行滤波处理。
- 可应用于旋转体的平衡测量。通过输入一个旋转脉冲并将其作为触发信号，可以获得有意义的相位信息，并且可以计算校正失衡的位置信息。
- 通过在跟踪分析中执行相位跟踪，不仅可以获得每个旋转速度的幅度，还可以获得相位。
(1) 可从模式圆 (极谱图) 检测旋转体的危险速度
(2) 通过多点同时跟踪分析，可获得特定旋转速度的生产动画 (ODS) 数据。
最后，总结一下。
- 傅里叶频谱是时间序列数据的傅里叶变换，具有两个信息:振幅和相位。
- 功率谱是傅立叶频谱振幅的平方，如果不进行平均，则振幅信息相同。另外，功率谱丢失相位信息。
- 确定时间信号的频谱通常用于确定平均功率频谱，而不是傅立叶频谱。
- 傅立叶频谱的用途有:
(1) 使用IFFT再现时间序列数据
(2) 平衡测量
(3) 相位跟踪
等。
【关键词】
功率谱、傅立叶光谱、有限傅立叶级数、复有限傅立叶级数、FFT、复傅立叶系数、时间窗口长度、复共轭、单侧光谱、有效值、振幅光谱、
相位光谱、时间窗口、初始相位、均方值、求和平均值、触发、IFFT、平衡测量、跟踪分析、相位跟踪、模态圆、极谱图、危险速度、生产动画、ODS
【参考】
“地震动的光谱分析简介”大崎顺彦著鹿岛出版社 (1984年)
“数字傅里叶分析 (II) -高级篇-”城户健一编著新冠社 (2007年)
(摘自2016年11月25日发行的电子邮件杂志)
