再来看看我们之前提到的欧拉公式;
eiθ=cosθ+isinθ ················· (1)
;按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。复指数函数e iθ表示在复平面的单位圆上旋转的向量。
如果旋转角θ为正，则其旋转方向为逆时针旋转，如果为负，则为顺时针旋转。还有
(1)如公式所示，其实数部分成为投影在复平面的实轴上的点。
轨迹为余弦波。同样，虚部中点的轨迹为正弦波形。图1显示了
从实轴上的点(1、0)开始的旋转矢量以半径为1的圆柱形逆时针方向旋转。
三维显示的外观。
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图 1：欧拉公式（上文公式 (1)）的几何解释
（引自参考文献（1））
在此，将偏角θ设为ωt,则 (1) 式写作 (2) 式;
eiωt=cosωt+isinωt ················· (2)
;(2) 式的左边表示每秒以ω弧度旋转的旋转矢量，右边的实数部分和虚数部分表示周期为2π/ω的余弦波和正弦波波形。ω是角速度 (角频率)，ω=2πf (f是频率，单位为Hz) 。在下文中，角频率和频率具有相同的含义。相反，为了用复指数函数表示余弦波形和正弦波形，采用 (2) 式的复共轭的话;
e-iωt=cosωt-isinωt = ················· (3)
;根据 (2) 式和 (3) 式;
················· (4)
················· (5)
(4)，公式 (5) 表示三角函数 (余弦波和正弦波一起) 可表示为复指数函数e iωt及其复共轭的和与差。因此，在信号处理的世界中，该e iωt也称为复正弦波信号，多用于公式展开。
(4) 式的意思是复正弦信号e iωt是以角速度ω逆时针方向旋转单位圆的矢量，其复共轭e iωt是以相同角速度ω逆旋转的旋转矢量，cosωt (余弦波形) 是这两个矢量的组合 (始终在实轴上) (图2- (a) ) 。
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图2- (a) 余弦波形的复指数函数eiωt的表示
-复平面上的矢量-
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图2- (b) 余弦波形的复指数函数eiωt的表示
-频谱-
在这里;
e-iωt=ei(−ω)t ················· (6)
;考虑到顺时针旋转的分量，可以看作是以角速度-ω旋转的分量。
可以，从此，负频率分量我想。
实数的余弦波形，在频率轴上考虑时，正频率分量ω (大小为1/2) 与负频率
可以说它由成分-ω (大小为1/2) 组成。实际的余弦波
数分析如图2的 (b) 所示，虚轴上的投影成分由于复共轭而相互抵消，
只有实数部分的正负分量与原点对称 (线对称) 。此频率轴上的结果
常规频谱的双曲余切值。
同样，考虑实数的正弦波形，由正频率成分ω (大小-1/2) 和负频率成分
分-ω (大小1/2) 构成，由于复共轭的差异，实轴上的成分被抵消，合成成分出现在虚轴上
(图3) 。
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图3- (a) 正弦波形的复指数函数eiωt的表示
-复平面上的向量-
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图3- (b) 正弦波形的复指数函数eiωt的表示
-频谱-
顺便说一句，当我加入公司开始学习FFT技术时，我有一段记忆，我无法深刻理解“什么是负频?”
。
图2和图3中的 (b) (频谱) 仅表示幅度，
正如我之前提到的，复函数表示的另一个信息是相位。
正如您所知，正弦波与余弦波延迟90度的波形相同，因此我们将在未来讨论余弦
波时间波形。使用余弦波的主要原因是;
- 矢量旋转的起点 (t=0) 与余弦波的起点重合。
- 因为是实数部分的成分，所以与现实世界的对应很好。
等等。余弦波的波形用 (7) 式表示的话;
················· (7)
················· (8)
;，本来公式 (7) 左边括号中的整个部分称为相位，但ωt部分表示时间和
一起旋转的向量分量，其中最重要的信息是初始相位φ，因此在此
此φ称为相位。此相位角相对于旋转向量起点 (t=0) 处的实轴
角度 (图4) 。
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图4- (a) 包含初始相位φ的余弦波形的复指数函数eiωt的表示
-复平面上的矢量-
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图4- (b) 包含初始相位φ的余弦波形在复指数函数eiωt中的表示
-频谱-
作为实波形对应余弦波时，如 (7) 式右边所示，为复正弦波信号与其共轭的和 (实数化)，但频率分析的主要目的是求出每个角频率 (ω) 的大小 (振幅) A和相位φ，因此，也经常利用 (8) 式的形式。
若计算如公式 (7) 所示的包含初始相位的时间波形的频谱，则为图4的 (b) 。正频率分量的实数部分对应于cosφ，虚数部分对应于sinφ。由此，相位φ;
················· (9)
例如，;
φ=0°时，图2的 (b) (余弦波形) ;
φ=-90°时，图3的 (b) (正弦波形)
φ=30°时，图4的 (b)
;的双曲余切值。
同样，大小 (振幅);
(注意)
←此处计算为双侧光谱，因此可能与实际设备有所不同。
;的规格化距离的幂函数。
正如这些示例所示，实数函数的频谱;
“实数部分为偶函数 (线对称)，虚数部分为奇函数 (点对称)”
;按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。也可以从公式 (4) 和公式 (5) 中理解。
FFT (快速傅里叶变换) 也很好地利用了单位圆的旋转因子 (旋转因子)
这是一种算法。旋转因子WN;
··············· (10)
这表示通过将复平面上的单位圆从(1、0)点 (在实轴上) 向负方向旋转，将1
圆周分成N等分来表示向量 (图5中N=8的示例) 。
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图5 N=8时的旋转因子 (W8=e-i2π/8)
| 具体数值示例 | |
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使用旋转因子WN,前面的表达式 (1) 可以写成下面的表达式 (11) 。
··············· (11)
有关FFT的具体方法，请参阅参考文献 (2)，但如果您理解使用单位圆
的向量思维方式，如图5所示，复指数函数的周期性等变得清晰，FFT的理解
程度增加。
当然，不仅是FFT,在数字滤波器和Z变换等信号处理的理解和数学展
开中，复指数函数 (复正弦波信号) e iωt的表现也是必须的工具。
从上次开始，我分两次基本讨论了复指数函数，但对于浅薄的作者，
如果您有任何错误，请指出。
○参考文献
- 杂志《Newton (虚数越明白) 》2008年12月号
- “数字傅里叶分析 (I) -基础-”Kenichi Shirodo (新冠公司)
(摘自2009年2月19日发行的电子邮件杂志)
