数字计量基础——第16讲“复数的话题”

例如，如果你有一个DFT (离散傅里叶变换) 表达式，;

;按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。(1) 式中有明显的圆周率 (π)、自然对数的底数纳皮尔数 (e) 和
包含2次幂为“-1”的数字“i”(虚数单位，i=√-1)。这是年糕
当然，这是因为我们在推导公式 (1) 时使用了欧拉公式，但像这样，光，
对于涉及电磁、振动、音响等波浪的技术公司来说，这是“欧拉公式”。;

;是一个重要的恒等式，可以简化计算。(2) 式的θ代入π后，cosπ=-1、sinπ=0所以 (将-1移项到左边);

;中描述的相应参数的值。它包含数学中最基础的数字(π、e、
1、0和虚数单位i)，它被称为世界上最美丽的数学表达式。
在数年前被拍成电影的小说《博士所爱的算式》 (小川洋子著) 中，登场人物之间微妙的人
关系也被用于暗示这样的场面。顺便说一下，符号e, i据说是欧拉 (18世纪
纪大数学家) 首次使用的。

由2次方成为-1的虚数单位i (=√-1) 和2个实数x、y构成。;

;称为复数，x是z的实数部分 (Re z)，y是z的虚数部分 (Im z) 。

如果复数z与xy平面上的点P (x, y)相对应，则更容易理解，并且将此时的xy平面设置为复数。
称为素平面 (或高斯平面) (图1) 。

(4)在表达式中，y=0表示z为实数，且复平面上的实轴为实数的数线。
复数是包含所有实数的数。另外，对于 (4) 式的z;

称为z的绝对值，图形表示复平面上原点O和点P之间的距离OP。
如果将OP视为向量z,则可以将其视为长度 (范数) 。(4) 式的z与
对应点P (x, y)对应极坐标(r,θ)时，z为极形式;

;(图1) 。其中，r是z的绝对值，θ被称为z的偏角，图形
是矢量OP与实轴 (x轴) 正方向的角 (弧度) 。

(2)公式的欧拉公式适用于公式 (6);

;来定义自定义外观。使用表达式 (9) 的最大优点是，除了在图形上更容易分
之外，还可以更轻松地计算复数之间的乘法和除法。具
身体的计算例子省略，乘法是绝对值 (实数) 的乘法，偏角是加法，除法是
绝对值 (实数) 的除法和偏角是减法。
将复数以极形式 (矢量的长度与偏角) 以图形方式表示时，可更好地理解虚数单位i的意义
。将复数z乘以i相当于将向量z逆时针旋转90度 (π/2)
(正方向) 。因为;

;所以;

;，偏角增加π/2 (图2) 。

以同样的方式，将i乘以实轴 (x轴) 上的一个正点 (实数) 2次 (i2=-1因此乘以-1
) 将旋转180度，这是数线上的一个负点。这样
，负数也可以用虚数统一说明。

(4)对于式的复数z,将虚数部的符号相反的东西称为z的共轭复数。;

;表示，图形上位于与实轴 (x轴) 对称的位置P’(x,-y) (图1) 。共轭复数
的重要性质是和< (11) 式>和积< (12) 式>为实数。也就是说;

实数系数的代数方程式如果有复数解的话，其共轭复数也一定是解。
其实也可以从共轭复数的性质来说明。(11)、(12) 式为实数系数2次方程的“解”
和系数的关系”。(1) 式中，对实数信号x (n) 进行DFT后的结论。
结果的复傅里叶频谱X (k) 通常也是复数，但它与负频率分量正
频率分量必须是复共轭关系。

从历史上看，当获得二次方程(例如，x2+1=0)的解
时，虚数单位i明确出现，但此时没有解，但在三次方程的情况下，即使解是实际
数字，如果使用解公式 (卡达诺公式)，也可能出现虚数。

例如，在x3 -15x-4=0的示例中，;

;因此，有x=4、-2+√3、-2-√3的3个实数解，使用卡达诺公式，(13) 方程式的解的1个是;

;它可以解决。当然，在卡尔达诺(16世纪与达芬奇同时代的人)的
时代，虚数不被承认，平方根中为负数的数字也不被承认
，所以一定会受到惊喜吧。

但是，(14) 的立方根内部显然是复数，但如果仔细观察2个立方根的内部，则会发现它们是共轭
复数关系。取立方根时共轭复数的关系不变
，因此 (14) 应为实数。

放一放;

;，因此，(14) 的值可以使用表达式 (11);;

;这样通过利用 (9) 式，复数的
幂和幂根就可以非常简单地计算出来。

我将介绍另一个使用复数偏角的计算示例。有些公式用 (16) 式 (哈
顿公式) 或 (17) 式 (马汀公式) 来计算圆周率π。

若将它们的左边视为两个复数的偏角之和，则可通过复数的乘积
求出右边的值 (角度) 。例如，在公式 (16) 中，左边
表示 (4+i) 3 (99+5 i) 的偏角，计算结果为4913+4913 i,偏角为π/4
。同样，公式 (17) 也是 (5+i) 4/ (239+i)，计算得到2+2 i。

最后，考虑 (2) 中的欧拉公式。(2) 式的左边eiθ与复指数函数
它既是具有与三角函数相同周期(本例中为2π)的周期函数，又是复函数。
中描述的相应参数的值。此外，指数函数的一大优点是“微分运算简单，
即使单独微分，函数的形状也不会改变“。

如图3所示，将复指数函数eiθ微分4次后，具有完全复原的性质，(2) 式
右边的三角函数也进行同样的微分运算，同样复原 (图4)，但可以理解图3的复指数
函数更加简洁。

如图5所示，我理解这些属性对应于复数z乘以i四次并在圆周上绕一周返回原始
。

这一次，它已成为复数的基本故事，但下次我想谈谈信号处理的应用
。

我将给你最后提到的文献，所以如果你有兴趣，请参考。

○参考文献

1. “虚数的故事”Paul J.Naine (好田顺治译，青土社)
2. 《虚数的情绪》吉田武著 (东海大学出版社)

(摘自2009年1月22日发行的电子邮件杂志)