作为复习的目的，我整理了到上次为止的谈话。它是从Akio Nagamatsu教授的“模式分析介绍” (由新冠公司出版) 中引用并总结的。
自由振动和固有模式
物体的自由振动是在没有外力的状态下的必然结果，这是由于物理和机械原因。
从能量方面考虑，自由振动是仅与外部隔绝的系统内部的能量运动，交替采取动能和势能的形式，固有频率是在满足能量守恒定律的同时能够自由振动的频率。
多自由度系统及连续体在自由振动时，一定只能以被称为固有模式的该系统固有的形式振动，固有振动的数量与系统的自由度存在相同数量，各固有模式分别具有固有的振动数，除此以外的振动数不产生自由振动，以及各固有模式产生的自由振动具有模式衰减比这一固有的容易衰减的特性。
“固有模态、固有频率、模态衰减比”不仅是自由振动，也是支配强制振动、瞬态响应、自激振动、伺服分析等动态特性和动作整体性质的3个基本现象，统称为模态特性 (modal parameter) 。
另一方面，使物体产生振动并决定其性质的是“质量、刚性、衰减”这3种物理特性，表示振动现象的模式特性与决定振动的物质的本性即物理特性3对3对应，均可作为动特性的两侧面相互变换。
在3个模式特性中，固有频率和模式衰减比在整个系统中是共通的，是即使加振点和响应点改变也不会变化的整体项。与此相对，固有模式表示系统内部响应的分布状态，是振动点和响应点变化时变化的局部项。
在模式特性的同定中，频率响应函数不是系统的全部固有模式，而是通过仅包含在对象频率范围内的固有模式的一次结合近似表示，此时为了表现省略的对象频率范围外的固有模式带来的影响而设置的是惯性约束(近似低次方的固有模态的系数，该倒数称为乘余质量，具有质量的次元。)和乘余顺应性(近似于高次方的固有模式的系数，该倒数称为余数刚性，具有刚性的维度。)，这些是能够从固有模式导出的近似量，不是本质上的量，因此是派生量。
另外，有时也将模态质量、模态刚度、模态衰减系数作为模态特性加入，这些也是由3个模态特性决定的派生量。
质量、刚性、衰减等物理特性构成物理模型，而固有模式、固有频率、模式衰减比等模式特性构成模式模型。
模态分析
根据打击试验和振动试验等测量的频率响应函数确定系统的动态特性称为实验鉴定。实验鉴定分为模式特性鉴定方法和物理特性鉴定方法，通常进行的是模式特性鉴定，从该实验到鉴定的一系列过程称为实验模式分析.。另外，实验鉴定决定模式特性，使其适合频谱曲线和时间历史响应曲线，因此也称为曲线适合。
在有限元法等理论分析中使用的模式分析即理论模式分析中，从以运动方程式为代表的数式模型中，导出由通过特征值分析得到的模式特性构成的模式模型，进而利用模式模型求出频率响应函数和时历响应。对此，在实验模式分析中，根据振动试验得到的频率响应函数和时刻历史响应确定模式模型。理论模式分析和实验模式分析被称为相同的模式分析，但有必要认识到它们遵循完全相反的路径。
固有振动数和固有模式从力的平衡来看，意味着在没有外力的自由状态下，在所有的自由度上，内力一边平衡一边能够振动的速度和形状，另外从能量方面来看，也意味着在与外界隔绝的状态下，初期流入的能量作为系统整体被保存，一边能够振动的速度和形状，数学上是将运动方程式的右边作为0的有用的 (运动) 解的意思。
在多自由度不衰减方程中，
[M]{x“}＋[k]｛x｝＝｛0｝ ・・・（1）
这个解
xi＝Φiexp(jΩt） ・・・ （2）
然后用矢量表示，
{x}＝｛Φ｝exp（jΩt)
此外，由于 xi'' = -Ω^2exp(jΩt)，将其代入方程 (1) 可得
｛−Ω^2[M]＋[k]}{Φ}＝{0} ・・・ （3 ）
在静止 ({x}= [0}) 以外有解的特殊条件是，1自由度下Ω=√k/m,多自由度系统下
｛−Ω^2[M]＋[k]}＝｛0｝ ・・・ （4）
[M]由于 [k] 是已知的，根据 (4) 式求Ω。Ω只求自由度的数量，将该Ω代入 (3) 式，将{Φ}作为Φi的比求得，从而得到解。振幅{x}不是作为绝对值确定的，而是作为比来求的，但采用特定的振动形式 (模式)，并且该形式是由M和k决定的固有值，因此称为固有模式。
如果反过来看N自由度系统具有N个固有模式，则N自由度系统不能在这N个固有模式以外振动。这似乎是矛盾的。这是因为机器和结构的实际振动在自由振动和强制振动中是千变万化的，并且可以无限变化。这可以通过以下三个原因来解释。第一，固有模式仅表示振动的形状，其大小即绝对量如果是自由振动，则根据初始干扰的大小，如果是强制振动，则根据激振力的大小，可以无限变化。第二，在单一固有模式下振动是极其罕见的，并且在大多数振动中，多个固有模式混合以形成一种现象。混合条件可以根据初始干扰和激振力无限变化。第三，所有实际的机器和结构都是连续的，自由度是无限的。标准的模式分析是，关注其中的第2个事项，将其模型化，确定对象物的自由度，制作物理模型，根据力的平衡和能量原理变换为数学模型，通过理论分析和数值计算求解得到的公式，求出固有振动的固有模式，施加加振力，确定固有振动的混合情况，将其合成，求出响应。
实验模式分析有几种方法。
多自由度系统的响应函数可以通过1自由度系统的频率响应函数的重叠表现。当模态衰减比较小时，本征模态的频率响应函数更好.。将谐振附近的频率响应函数视为一个自由度系统，并且可以独立地确定仅固有模式的模式特性。这种方法称为1自由度方法 (single degree of freedom method) 。根据作为该方法之一的频率响应函数的大小求出时，采用以下方法。
一个自由度系统的运动方程式
mx"＋cx'＋kx＝Fexp（jωt)
因此，相容性频率响应函数G (ω)
G(ω）＝X/F＝1/k÷（1-β^2＋2jζβ） ・・・ （6）
β＝ω/Ω、Ω^2＝k/m
如果我们用N自由度公式
G (ω) =Σ1/Kr÷ (1-βr^2+2jζrβr) ・・・ (7)
Σ表示r=1~n的和。
(7)式中利用上述惯性约束C、乘余顺应性D进行修正后，得到下式。
G(ω)＝Σ1/Kr÷（1-βr^2＋2jζrβr）＋C/ω^2＋D
这里通过 (7) 式进行思考。
r如果只考虑下面的固有模式，则与 (6) 式相同，因此，只要求固有频率Ω和固有衰减ζ，就可以确定 (6) 式。
(6) 式的大小为
|G|=1/ k÷√{ (1-β^2) ^2+ (2ζβ) ^2}・・・ (8)
{}表示√中，
公式 (8) 为频率响应函数的MAG (振幅比)，因此共振频率最大，ζ≪1≫
|G|max≒1/（2kζ） ・・・ （9）
共振频率ω0在ζ≪1≫中
ω0=Ω√ (1-2ζ^2) ≈Ω・・・ (10) ()表示路径中
由此测定自顺应性 (激振点与响应点相同点) 的频率响应函数的MAG,根据r次固有模共振峰的频率ω0
Ω≈ω0=2πf0 (f0=|G|max的频率) ・・・ (11)
半幅法
ζ＝⊿ω/2Ω ・・・（12）
设|G|max/√2的频率fb和fa,则为2πfb和2πfa的差
|G|max可以从测定值中读取，因此根据 (9) 式
k＝1/（2ζ|G|max） ・・・（13）
又根据Ω^2=k/m
m＝k/Ω^2 ・・・（14）
这样可以确定共振频率ω0,模态质量m,模态刚度k,模态阻尼比ζ.。同样地，也求出其他次数的固有模式，通过它们的叠加 (7) 式求出近似式。
(摘自2005年1月20日发行的电子邮件杂志)
