基础频率分析 (11) -“傅里叶频谱”

此前，我们介绍了傅里叶级数、傅里叶变换、离散傅里叶变换等方面的基础知识。接下来，我们将讲解其典型应用之一——频谱分析。

将声音、振动等复杂信号波形分解为基本频率（正弦波），并求出各频率分量强度的过程称为频谱分析（或傅里叶分析）。实现这一过程最常用的方法是傅里叶变换技术。下面将通过基本波形，说明离散傅里叶变换（DFT）的计算方法，以及计算结果中纵轴数值的含义。

首先，重新列出此前介绍过的傅里叶级数、傅里叶变换和离散傅里叶变换的定义式。

●傅里叶级数

●傅里叶变换

[{"source":"●离散傅里叶变换（DFT）"}]

在实际数值计算中，由于处理的是有限长度的数字数据，因此使用公式（3）中的离散傅里叶变换（DFT）。

下面，我们将直观地说明如何从公式(2)推导出有限长度的 DFT 公式(3)。
以采样周期 τ（采样频率 f，f = 1/τ）对时间波形 x(t)进行 N 点采样，则有限时间长度 T 为 T = Nτ。此外，基频为 1/T，离散频率为 k/T。利用这些量对公式(2)进行有限离散化，可得：

这里，省略 1/T 和 τ，并将乘积改写为求和形式；

因此，可以通过公式（3）求得有限长度的傅里叶变换。

X (f)（或者 X (k)）表示时间波形 x(t) 中所含频率成分的大小（强度），称为傅里叶频谱。显然，傅里叶频谱是复数，因此；

在这里，有时将 |x(f)| 称为振幅谱，将 θ(f) 称为相位谱。
如此，傅里叶谱是包含各个频率的振幅和相位信息的复数。

接下来，我们来考虑傅里叶谱幅值的维度。

使用公式（5）求取有限时长 T 的时间波形 x(t) 的傅里叶变换时，由于这是关于时间的积分运算，因此显然，X(f) 的量纲等于时间波形的量纲与时间的量纲之积。例如，若 x(t) 的单位为电压（V），则傅里叶频谱 X(f) 的单位为 V·s，且其数值还与有限时长 T 成正比。

对于周期信号这类确定性信号，其数值会随计算所用的时间窗而变化，这一点比较麻烦。因此，通常的 FFT 分析仪将除以 T 后的值作为傅里叶谱。正如离散傅里叶变换（DFT）专栏（第 138 期测量专栏）中所述，式（5）的 DFT 运算将 N 点数据视为以其为基本周期的周期性时域波形，因此，“除以 T 后的傅里叶谱”等价于式（1）中的复傅里叶系数。也就是说，如傅里叶变换专栏（第 130 期测量专栏）式（10）所示，复傅里叶系数与由 DFT 求得的傅里叶谱之间的关系（将离散自变量一并写出）为：

按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。

让我们使用市售电子表格软件附带的 FFT 工具等，进行具体的数值计算吧。

考虑在时间窗长度 T（= Nτ）内包含 k 个周期的余弦波形 x（nτ）；

下文中，与公式（11）相同，省略采样周期 τ。

在式（11）中，例如代入 N = 64、k = 4，时间信号 x(n) 将成为 64 个离散数据点。对这些数据进行 FFT 运算后，同样可以得到 64 个频域数据点（图 1：上次重刊的图）。

时间数据(n =0,1,2,3, ….... ,63)

频率数据(k =0,1,2,3, ….... ,63)

正频率

负频率

FFT分析仪的
频率范围

図1 DFT( FFT) における周波数領域のデータ並び(N = 64 の例)

在此示例中，图 1 的频率数据序列中，只有 k = 4（正频率）和 k = 60（负频率）这两处（红圈标出的两个点）存储了表 1 中的值，其他数据均为 0。

表1 式(11)に N = 64、k = 4 を代入した計算結果

频点 (k)	实数部分	虚数部
4（正频率）		0
60（负频率）		0

由此结果可知，将其除以时间窗长度 T（省略 τ 的 N），再乘以 2（同时考虑负值部分），即可得到振幅 A。此外，由于虚部为 0，其相位显然为 0 度。

接下来，计算相位发生变化的式（12）。

表2 式(12)に N = 64、k = 4 を代入した計算結果

频点 (k)	实数部分	虚数部
4（正频率）
60（负频率）

与上例相同，在式（12）中代入 N = 64、k = 4 进行 FFT 运算，可得到表 2 所示的计算结果。根据该结果，利用式（7）可求得振幅为 A，利用式（8）可求得相位为 −π/4（= −45°）。

此外，信号分量的强度会根据 FFT 分析仪的设置，以振幅值（单边振幅值）或有效值等形式显示。另外，相位取决于数据采集（时间窗），因此通常会与某个时刻同步（触发）进行采样。

下次将介绍功率谱。

【关键词】

频谱分析、傅里叶分析、傅里叶级数、傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT）、傅里叶频谱、振幅频谱、相位频谱、复傅里叶系数、快速傅里叶变换（FFT）、触发器

【参考资料】

1. “光谱分析”日野干雄着朝仓书店 (1977年)

2. “数字傅里叶分析 (I) -基础-”由Kenichi Shirodo 新冠公司 (2007年) 撰写

【摘自2013年9月20日发行的电子邮件杂志】