这次我们将讨论傅立叶变换。
我上次提到的“傅里叶级数展开中，时间波形是周期T中选择新的扶手类型，来修改默认的扶手。那么，在完全没有周期性的连续信号和瞬态信号中，应该如何求出该信号的频率成分呢??
由于傅里叶级数中没有关于周期T的数值限制，因此考虑没有周期性，即周期T达到无穷大的情况。
从上次说明的复傅里叶级数开始。将时间函数x (t)的周期设为T，则;
.................................(1)
.................................(2)
式 (2) 的c n是频率间隔为1/ T的离散型。;
.................................(3)
然后，将此符号代入式 (1) 和式 (2)，使T无限大。;
.................................(4)
假设T→∞，Δf→df, f n→f,结果;
.................................(5)
按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。在这里;
.................................(6)
式 (6) 是非周期时间函数x (t) 求其频谱X (f) 的式，傅里叶变交换 (或傅立叶积分)叫。相反，根据光谱X (f) 求原来的时间信号x (t) 的式子在式子 (5) 中逆傅里叶变换的双曲余切值。X (f) 显然是复数。复数-列光谱中所述修改相应参数的值。
公式(5)和式(6)是无限大的积分，问题是积分值是否有限。如果时间信号x (t)满足下面的表达式(7)，则表达式(5)和(6)均为有限值。
.................................(7)
此性质称为x (t)是绝对可积分。直观地说，表达式(7)不能满足正弦波和随机波等连续的、无限的时间波形，而只能满足瞬态信号 (如单个脉冲波) 。
那么，比较傅里叶级数式(2)和傅里叶变换式(6)来看，式(2)的c n明显成为只拥有基频1/T及其整数倍的波数成分的线谱，式(6)的复傅里叶光谱X (f)为连续光谱。
例如，确定图1中脉冲波形的傅立叶变换。
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图1脉冲波形
这个时间波形明显满足式 (7) 。;
.........................(8)
(图2) 。
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图2脉冲波形的傅立叶变换
在公式 (8) 的右边，特意不约定分母分子中的b,而是以sin x/x的形式来标记
。这种类型的函数称为Sinc函数，通常出现在信号处理领域。
接下来，考虑图1中的脉冲波形以周期T重复的周期时间波形，如图3所示。
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图3脉冲波形
然后计算此波形的傅里叶级数展开。基频为f0,则f0=1/T
所以;
.........................(9)
现在，比较表达式 (8) 和表达式 (9)，除了常数1/T之外，c n显然等于将nf0赋值给X (f) 。也就是说;
.......................(10)
) 中被调用，将出现故障。
图4是在复傅立叶系数c n的图表上覆盖复傅立叶光谱X (f) 而忽略系数1/T的图表。
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图4周期性脉冲波形的傅里叶级数展开
最后，总结一下。
- 傅立叶变换适用于非周期信号，例如瞬态信号。
- 傅立叶变换后的光谱是无限连续的光谱。与此相对，傅里叶级数展开后的傅里叶级数为线谱。
- 傅立叶系数的纵轴的单位是信号的物理量本身，而傅立叶频谱的纵轴的单位是信号的物理量乘以时间。
【关键词】
傅里叶变换傅里叶级数展开傅里叶积分逆傅里叶变换复傅里叶光谱绝对可积分线谱连续光谱Sinc函数
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【参考资料】
- “信号处理”Iwao Morishita, Hidehide Obata共同撰写测量自动控制学会
- “光谱分析”日野干雄着朝仓书店
- “快速傅立叶变换”E.ORAN BRIGHAM著科学技术出版社
(摘自2012年7月20日发行的电子邮件杂志)
