基于基础的频率分析 (3) -“傅里叶级数展开 (第2部分) ”

从上次开始，这次我将谈谈傅里叶级数的发展。

重新编写傅里叶级数展开表达式。首先，假设周期函数x (t) 的周期为T;

................................(1)

其中ω0是基角频率，f0是基频。

(1) 普通三角函数的级数展开

.......(2)

.......(3)

.......(4)

.......(5)

.......(6)

(2) 复傅里叶级数展开

.......(7)

.......(8)

上面提到的an和bn之间的关系;

.......(9)

让我们考虑一下这些公式的含义。

公式 (2) 的含义是傅里叶本身的基本思想，即“无论怎样复杂的周期时间函数，都可以用其基本频率及其整数倍频率的三角函数(正弦波、余弦波)的和来表示。”。表达式 (3) 通过单振动合成对表达式 (2) 进行变形，并将其表示为余弦波(频率、振幅、相位)之和。FFT分析器中的傅里叶频谱通常显示相应的数值。

那么公式 (7) 在物理上意味着什么?

复指数函数 (复正弦波) 表示一个向量，e ^jnω0t通常以nω0的角频率在单位圆上沿逆时针方向随时间旋转，而e^-jnω0t表示一个向量，它以nω0的角频率在单位圆上沿顺时针方向随时间旋转。如图1所示，两个向量始终相对于实轴对称 (它们是复共轭)，因此它们的和为实数。

下面是公式 (7) 中的复系数c n。;

.....(10)

，其中Xn表示旋转向量的振幅，而表示旋转向量的初始相位(时间信号中t=0时的相位，旋转矢量的起始位置)。
如果将角频率中的逆时针和顺时针两个向量相加，;

..(11)

,等于常规三角函数的傅里叶级数展开公式 (3) 。

重新编写表达式 (7);

...............................(12)

表达式 (12) 表示振幅为

,初始相位为φn,角频率nω0 (周期

这意味着计算逆时针旋转（n > 0）和顺时针旋转（n < 0）的向量之和，然后计算每个角频率下这些向量之和。
例如，图 2 显示了向量 n=1，Xn=10，-π/30（-60 度）。

图2显示了初始相位状态下的向量，时间t=0。

【注意】
角频率ω的符号表示旋转方向，正 (加) 表示逆时针旋转，负 (减) 表示顺时针旋转。此外，相位符号表示相对于逆时针旋转方向，正 (正) 表示相位超前，负 (负) 表示相位滞后。如图2所示，由正负两个向量合成的向量必须位于实轴上，该点的轨迹

中选择新的扶手类型，来修改默认的扶手。

傅里叶级数展开是用频域表现时间信号，即求频谱，因此公式 (8) 的cn称为复傅里叶系数 (复傅里叶频谱)，Xn称为振幅频谱，φn称为相位频谱。

那么，具体地计算一下周期函数的傅里叶级数展开吧。

[具体例1]

如上图所示的周期T的锯齿状波;

...............................(13)

列表框中，此格式对应于条目“无”。

图3的锯齿波明显是奇函数，因此傅里叶系数只需计算正弦项的即可。;

因此，锯齿形波式 (13) 的傅里叶级数展开;

.(14)

按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。

如果将T/4代入公式 (13) 的两边，则左边为1/2。;

接下来;

...............................(15)

和莱布尼茨公式。

[具体例2]

如上图所示的抛物线;

...............................(16)

列表框中，此格式对应于条目“无”。

在这个例子中，因为是偶函数，所以傅里叶系数只需计算余弦项的an即可。;

还有;

所以，抛物线式 (16) 的傅里叶级数展开;

..(17)

通过在公式 (17) 的两边代入t=0;

...............................(18)

中所述修改相应参数的值。在此，式 (18) 的右边设为S;

S的值是π ² /12。;

...............................(19)

按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。

求式 (19) 中自然数的倒数的2次方之和的问题，以前被称为“巴塞尔问题”，
18世纪由欧拉求解。将这个问题在19世纪一般化的是
黎曼的ζ函数。

也就是说，如果s是复数，;

...............................(20)

根据公式 (19)，当s=2时的值为;

按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。

最后，它是傅里叶级数展开的摘要 (图5) 。

1. 适用于周期T的连续时间信号。
2. 频谱以基频f0 (=1/T) 及其整数倍的离散间隔无限排列。
3. 在复傅立叶级数展开中，存在正负频率，其值为复共轭的关系。即，Xn=X-nφn=---n。

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【参考资料】

1. “信号处理”Iwao Morishita, Hidehide Obata共同撰写测量自动控制学会
2. “光谱分析”日野干雄着朝仓书店

(摘自2012年5月24日发行的电子邮件杂志)