随着这一年的变化，我想从这个时候开始再次学习“从基础开始的频率分析”。
这次我们将讨论理解“傅里叶变换”的数学基础，这是频率分析的基本和核心技术。即使它说数学，它也是高中数学+α的程度。
数学的基础知识;
- 微积分
- 三角函数和指数函数
- 复数(直角、极坐标和复平面)
- 复指数函数 (欧拉公式)
等已弃用的函数的缺少的支持。
首先，我说一下角度的单位。
绕圆一周的角度为360度。用度数 (deg) 表示角度的方法称为度数，也可以用π表示圆周率。这个叫做弧度法，是数学中经常使用的角度标记法。具体来说，360度在弧度法中是2π，单位为弧度(弧度，rad)，但通常省略此单位。
转换度数和弧度法
1度=π/180=0.01745・・・
1 (rad) =180/π=57.2957・・・ (度)
为什么数学要使用弧度法呢?其中一个原因是，在数学上，三角函数的微积分更容易，而圆和扇形的圆周和面积更容易表示。
如果x是弧度法;
.................................（1）
................................（2）
................................（3）
这很容易。如果这是频率方法，则附加π/180的系数是麻烦的。
接下来，我们将讨论扩展到普通角度的三角函数 (圆函数) 。正弦 (正弦) 和余弦 (余弦) 等三角函数定义为直角三角形边的比率，而数学将余弦定义为半径为1的单位圆上的点P沿该圆旋转时的x坐标，将y坐标定义为正弦。
-
图1单位圆和一般三角函数
在图1中，如果将原点0和点P形成的向量OP与x轴上形成的角设为θ，;
.................................（4）
中选择新的扶手类型，来修改默认的扶手。当点P (或向量OP) 沿圆周旋转时，通过定义逆时针为正、顺时针为负角度来绘制图形，将产生图1所示的余弦和正弦函数。此外，圆的周长为2π (=360°)，说明余弦函数和正弦函数是周期为2π的周期函数。根据此定义，三角函数有时称为圆函数。
此外，圆的半径 (向量OP的长度) 为1,因此很明显;
.................................（5）
中选择新的扶手类型，来修改默认的扶手。
这是自然对数的底数，Napier数e。
Nepier编号e定义如下:。
.................................（6）
如果您使用此Napier数e和基于此值的自然对数logx定义指数函数，则将省略详细说明，但这些差异将非常简单。也就是说;
.................................（7）
.................................（8）
另外，如果将指数函数e x展开幂级数，;
................................（9）
在公式 (9) 中，将x=1代入;
...............................（10）
,根据此公式计算e,结果如公式 (6) 所示。
虽然它有点出轨，但在2004年左右，以下广告牌出现在硅谷的街道上。这是美国IT公司Google的招聘广告，似乎意味着您应该访问此网址并申请。
{ first 10-digit prime found in consecutive digits of e }.com
(e的前10个连续素数)
除非编程，否则很难从无理数e的值中找到与上述匹配的10位数。
接下来，我将谈论复数。
-
图2复平面 (高斯平面)
定义2次方为-1的数字。这称为虚数单位i。
...............................（11）
复数z可以使用任意的实数a、b;
z=a+ib ...............................（12）
中选择新的扶手类型，来修改默认的扶手。在图2的复平面上，绝对值r;
...............................（13）
偏角θ;
..............................（14）
使用绝对值r和偏角θ，z的极形式;
z=r(cos θ+isin θ)
...............................（15）
任意的复数z有式 (12) 的直角坐标形式和式 (15) 的极坐标形式2种表现。
【具体例子】
因此，将复数从几何角度考虑到复平面 (高斯平面) 很容易理解。
在这里，我们考虑虚数单位i的几何含义。如果i是极形式的，;
...............................（16）
把公式 (15) 和公式 (16) 相乘;
因此，“复数z乘以i”相当于将相位角向前移动90度 (=π/2) 或旋转90度。
-
图3 z乘以i
最后，关于“欧拉公式”。在此之前，我们使用了Nepier数e和虚数单位i;
..............................（17）
此公式 (17) 称为欧拉公式。然后我们把它变形;
...............................（18）
公式 (18) 有时也称为欧拉公式。
现在，如果你用公式 (17) 改变公式 (15)，;
...............................（19）
,可以用非常简单的形式表示任意复数。
,可以用非常简单的形式表示任意复数。
式 (19) 的表达是交流电路、声音和振动等波动方程式中不可或缺的，称为复指数函数 (复正弦函数) 。
有关复数和欧拉公式的详细说明，请参阅之前的测量列 (参考) 。
最后将x=π代入公式 (17);
并且，我们获得了这次解释的常量(π、e、i)的美丽关系表达式。
以下跳转到本公司的对应主页。
【参考资料】
数码计测基础-第16回“复数的话题”
数码计测基础-第17回“复数的话题 (之2) ”
(摘自2012年1月26日发行的电子邮件杂志)
