这次，我将继续上次的振动测量的基础。
上次我们讨论了自由振动，但这次我们讨论了强制振动。强制振动是从外部施加力，强制引起振动的现象。即使该振动系统中有阻尼要素，也会从外部供给振动能量，所以会永久持续振动。一般强制振动有直接对机械等施加强制力的情况和机械的支撑系统振动的情况。以汽车为例，前者是发动机的爆炸振动，后者是由于恶劣道路等路面的位移引起的强制振动。这里说明从外部施加力的强制振动。
与上次的自由振动一样，考虑图1所示的1自由度振动系，考虑总是向质点施加强制性外力f (t) 的情况。此时，存在于该振动系统中的惯性力、粘性阻力、复原力的合力与外部力平衡，因此运动方程式如式 (1) 所示。
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图1向自由度振动系统施加外力的示例
与上次的自由振荡一样，对于如图2所示没有衰减的情况 (c=0)，此时的运动方程式;
按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。
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图2 1自由度不衰减强制振动的例子
外力一般可以是包含多种频率成分的复杂时间信号，任何波形都可视为正弦波的合成，因此需施加谐波加振力f (t) (可表示为正弦波函数的加振力)，调查其响应位移x (t) 。将振幅F、角频率ω的调和激振力;
,然后将其赋值给表达式 (2) 。;
按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。
求解公式 (4);
.................................（5）
(固有角频率)
(固有频率)
.................................（6）
.................................（7）
由式 (5) 可知，激振力的响应位移x (t) 以与式 (3) 的调和激振力相同的角振动ω振动，当角振动数ω接近固有角振动数ωn时，位移的振幅不断增大，当两者相等时，其位移响应为无穷大。这种现象称为共振，此时的频率称为共振点。(实际上，总会有衰减，因此不会出现无穷大振幅・・・)
式 (5) 中，设/kFXst= (静态位移)，位移振幅为X,;
.................................（8）
表达式 (8) 称为振幅因子。另外，式 (5) 中，角振动数ω大于固有角振动数ωn时，振幅部分为负。;
.................................（9）
中所述修改相应参数的值。因此，将角频率从DC附近扫描到高频时的振幅倍率和响应位移相对于激振力的相位差图如图3所示。
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图3 1自由度不衰减系统的强制振动中的振幅和相位
从图3中的图表可以看出，在谐振点处，相位不连续地延迟了180度 (π弧度)，即相位反转。
接下来，考虑阻尼系统的强制振动。
将公式 (3) 代入式 (1)，此时的微分方程为;
按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。当前一次阻尼自由振荡产生的阻尼比ζ小于1时，解式 (10)，;
.................................（11）
在这里;
阻尼比
.................................（12）
阻尼固有角频率
.................................（13）
衰减率
公式 (11) 右边的1项给出了对强迫振动的响应位移，2项给出了瞬态振动，它出现在用自由衰减振动施加强迫振动的瞬间，并随着时间的推移消失。图4显示了激振力角频率小于系统固有角频率的情况。
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图4阻尼系统的强制振动的瞬态特性 (加振角振动数<固有角振动数时)
当自由振动消失时，稳态下的响应位移;
.................................（15）
此时的振幅倍率为X st =F/k (静态位移)，位移振幅设为X。;
.................................（16）
此外，相位角φ;
.................................（17）
由式 (16) 可知，即使激振力角振动频率与固有角振动频率一致，振幅倍率也不是无限大，为1/ (2ζ) 。(注意:此值不是最大值) 另外，由式 (17) 可知，当激振角频率等于固有角频率时，相位延迟为90度 (π/2弧度)，大于该值时，相位延迟逐渐接近180度 (π弧度) 。图5说明了公式 (16) 的振幅放大率和公式 (17) 的相位延迟 (延迟为负值) 。因此，在两个图中，其形状取决于阻尼比ζ的值。
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图5 1自由度衰减系统的强制振动中的振幅和相位
图6是振幅放大率的对数图。
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图6衰减比ζ的振幅倍率的差异
最后，总结一下。
(1) 1在自由度非阻尼强制振动系统中，当谐波加振力的角频率与固有角频率一致时，响应位移为无穷大，这种状态称为共振。
(2) 1在自由度非衰减的强制振动系统的共振点，反转对激振力的响应位移的相位。
(3) 1自由度衰减的强制振动系统的响应位移是自由衰减振动与强制振动的响应位移振动的合成。
(4) 1自由度衰减的强制振动系统稳定状态下的响应位移的振幅特性和相位特性根据衰减比ζ的值而变化。
(5) 1在自由度衰减的强制振动系统的共振点附近，对激振力的响应位移相位从0度延迟到180度，共振点处的延迟为90度。
【关键词】
自由振动、强制振动、1自由度振动系统、惯性力、粘性阻力、复原力、调和加振力、固有角振动数、固有振动数、共振、共振点、振幅倍率、magnification factor、衰减比、衰减固有角振动数、衰减率、过渡振动、稳定状态
【参考】
- “模式分析简介”长松昭男著新冠社 (1994年)
- 《防止公害的技术和法规》防止公害的技术和法规编辑委员会编 (社团法人) 产业防止公害协会 (1990年)
(摘自2015年9月17日发行的电子邮件杂志)
