基于基础的频率分析 (18) -传递函数和相干函数

在上一篇文章中，我们讨论了FFT分析器中最重要、最有价值的传递函数。这次我们将讨论通常用作传递函数估计精度指标的相干函数。相干函数表示从系统输出的所有信号分量与基于输入到系统中的信号的信号分量的功率之比，并显示输出信号中混入了多少噪声信号。
此外，我们还将讨论除上述传递函数定义之外的其他定义，并讨论它们与相干函数的关系。

与前一次相同，考虑通过将输入信号x (t) 添加到图1中的传输系统h (t) 而获得的输出设为v (t) 并且干扰噪声n (t) 重叠在v (t) 上的示例，并且其输出设为y (t) 。;

　　　　　　y (t) = v (t) +n (t)

公式 (1) 的傅立叶变换;

　　　　　　Y ( f ) = V ( f ) + N ( f )

图1中v (t) 是系统的输出。;

公式 (3) 的傅立叶变换;

　　　　　　V ( f ) = X ( f ) H ( f )

按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。换句话说，等式 (4) 表示v (t) 是不受干扰噪声影响的信号，并且仅取决于输入x (t) 。但是，实际上，可以测量x (t) 和y (t)，而不能测量v (t) 。

接下来，v (t) 信号的强度或功率谱;

如上次说明的那样，根据实测值x (t) 和y (t) 求出的传递函数的推定值;

所以，如果把公式 (6) 代入公式 (5);

按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。

计算此v (t) 功率谱与总输出信号y (t) 功率谱的比率。该比率具有振幅的平方维度，因此假设γ ²_xy (f);

,可以从可以测量的输入信号x (t) 和输出信号y (t) 计算。等式 (8) 称为相干函数 (相关度函数)，因为它是仅依赖于输入信号的信号 (相位干扰分量) 的功率与总输出信号功率之比。
在图1中，相干函数的值在完全没有干扰噪声时为1,在完全没有输入相关信号v (t) 时为0,因此很明显;

　　　　　　0  ≤ γ ² _xy ( f ) ≤  1

按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。

在公式 (8) 中，相干函数可以通过平均光谱获得，就像之前的传递函数一样 (图2) 。

Coherence函数小于1的主要原因是;

1. 输出系统中混入干扰噪音时
2. 系统为非线性时
3. 输出的响应比时间窗长产生泄漏误差的情况
4. 输出响应时间延迟过长

等等。

传递函数的通常计算式是式 (6)，通过在定义式的两边乘以输出的傅立叶光谱，也可以考虑下式计算式的传递函数。

公式 (6) 中的估计方法称为H ₁估计，公式 (10) 中的估计方法称为H ₂估计。再次，两种方法的定义表达式如下。

H ₁估计主要适用于输出中包含大量干扰噪声或非线性系统的线性近似。相反，H ₂估计适用于输入中包含大量扰动噪声或减少谐振点处的泄漏误差的情况。

现在，将H ₁与H ₂进行比较。传递函数分为增益分量和相位分量。首先2个传递函数的相位本身就是交叉谱的相位，根据公式 (11) 和公式 (12)，两者明显相等。接下来考虑增益成分的比。

按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。即，H ₁和H ₂传递函数的比率是相干函数。从公式 (9) 可以清楚地看出，两个传递函数之间的增益关系;

按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。当相干函数减小时，H ₁和H ₂之间的增益差增大，当为1时两者重合。

而且，估计传递函数的增益的直接方法是用输入信号x (t) 和输出信号y (t) 这2个实测信号的功率谱的比来近似，因此，假设传递函数的相位为θ (f)，估计传递函数为;

公式 (15) 的估计方法称为H _V估计。相位等于交叉频谱的相位，因此重写相位分量;

中选择新的扶手类型，来修改默认的扶手。

计算H _V、H ₁和H ₂三个传递函数的增益估计之间的关系。

取H ₁和H _V的增益的平方比;

等于相干函数。通过比较公式 (13) 和公式 (17);

因此，H _V的增益等于H ₁增益与H ₂增益之间的乘积平均值 (在对数中为乘积平均值) 。

根据公式 (14) 和公式 (18);

你可以看到。当相干函数等于1时，等号成立。

一般情况下，H ₂估计过高，H ₁估计过低，H _V估计最接近真值。但是，考虑到理论上很明确，以及输出中增加噪声的模型很多，并且必须同时测量相干函数，在实际的几乎
测量事例中，H ₁估计的传递函数测量就足够了。

现在，让我们回到相干函数并给出一个应用示例。

首先，它可用于检查传递函数的估计精度。当相干函数小于1时，
可能是噪声污染、非线性或泄漏误差的影响。
第2,贡献度计算能量。您可以计算输出功率中与输入相关的功率分量(相干输出功率，COP)。

第三，计算信噪比。

图3和图4是使用FFT分析器测量包括谐振系统的低通滤波器的传输系统的传输函数和
相干函数的示例，两个图都是;

上部:H ₁估计的传递函数

中间:H ₂估计的传递函数

底部:相干函数

的双曲余切值。在图3的示例中，可以看到频率分辨率不足，谐振点附近出现泄漏误差，相干函数降低。在图4的示例中，通过将频率分辨率提高8倍进行测量，H ₁估计也显示了几乎正确的谐振点值。
还可以看到，在半谐振点附近，H ₂估计值过高。

最后，总结一下。

1. 系统输出的全部信号分量与基于输入到系统的信号的信号分量的功率之比称为相干函数，可用于检查传递函数的估计精度。
2. 与传递函数类似，相干性函数可以通过平均功率谱和
   交叉频谱测量来计算。
3. 由于相干函数是按输入和输出功率标准化的函数，因此其值必须介于0和1之间。
4. 降低相干函数的主要原因是噪声、非线性、泄漏误差和时间延迟。
5. 传递函数的估计方法有H1估计、H2估计、Hv估计等。实际上，H1估计就足够了，它与相干函数同时求出，使其接近1。
6. 相干性函数的另一个应用示例是SN比计算，其中输出的总功率仅确定与输入相关的功率分量。

【关键词】

传递函数、相干函数、关联度函数、非线性、泄漏误差、H ₁估计、H ₂估计、H _V估计、贡献度、相干输出功率、COP、信噪比

【参考资料】

1. “数字傅里叶分析 (2) -高级版-”由Kenichi Shirodo 新冠公司 (2007年) 撰写
2. “声音、振动的光谱分析”金井浩著新冠社 (1999年)

(摘自2014年11月20日发行的电子邮件杂志)