基于基础的频率分析 (14) -DFT (FFT) 和时间窗口

这一次，作为数字频率分析仪FFT分析程序最重要和最值得注意的功能1是时间窗口 (Time Window)来定义自定义外观。另外，FFT是DFT中描述的场景，使用以下步骤创建明细表，以便在概念设计中分析体量的体积。

从测量列基础的频率分析(8) -如离散傅里叶变换(DFT)中所述，要对连续时间信号应用DFT (离散傅里叶变换)，必须对时间信号执行离散化和有限化处理。对于第1离散化，可以使用抗混叠滤波器在采样前限制频带，几乎不会出现误差。然而，由于数值计算实际上只能处理有限的数据，因此第2过程意味着将离散化的数字数据截取一定数量的(特别是FFT计算点)，并执行有限的DFT。剪切此连续时间信号的过程称为乘以时间窗口(时间窗口)。各种时间窗(窗函数)被设计为了尽可能地减少由于这种有限化处理引起的光谱误差。本部分介绍FFT分析器中典型窗口函数的特性和应用。

对以采样频率fs离散化的数字数据进行FFT分析，其中仅提取N个点，这意味着，由于DFT的特性，它将被计算为一个重复周期为T秒（= N/fs）的连续周期函数。这个T被称为时间窗口长度。如果时间窗口长度T是输入信号周期的整数倍（这在实际中是不可能的），则被分析的时间信号将等于原始时间信号，并且可以计算出正确的频谱（图1）。如果不是这种情况（大多数实际信号都是如此），则波形在提取的时间窗口长度T的起始和结束处会变得不连续，导致波形失真，并且频谱在该频率（输入信号周期的倒数）附近展宽（图2）。

因此，出色的频率分量峰值(主瓣)减少，在高峰的两侧有平缓的下摆(旁瓣)出现峰值能量在其附近泄漏的现象泄漏误差 (泄漏误差)的双曲余切值。因此，例如，图3(在这个例子中，使用了后述的汉宁窗。)在开始和结束时0这样的时间窗口FFT分析可以减少此错误。这就是我们所看到的FFT分析器使用专门设计的时间窗口，以尽可能减小旁瓣来获得频谱。

以下是三个最常用的时间窗口:。

首先，方形窗口(矩形窗口，矩形窗口)。该窗口是一个只截断时间窗口长度T部分的时间窗口函数，它是最基本的时间窗口，也是其他时间窗口的基础。如图2中所示，由于出现了最大的边瓣，因此不适合常规的连续时间波形，但对于像冲击波这样的时间波形，由于没有波形失真，因此可以获得准确的频谱。

如果将方波的窗口函数定义为表达式(1)，则其光谱为表达式(2)。

.................................(1)

.................................(2)

方波的形状及其频谱如图4所示。

现在，我将定性解释为什么光谱如图2所示。实际执行FFT的波形是截取前的连续时间信号x (t)与表达式(1)的时间窗w (t)的乘积，因此频谱是原始时间信号和时间窗函数的每个傅里叶变换的卷积。例如，如果输入信号x (t)是频率f1的正弦波，则频谱的中心频率为f1，其形状位于图4的底部。图1的情况下，中心频率f1正好位于方形窗口光谱的正中央，旁瓣全部为0 (null)点，因此为图1的光谱。相反，在图2的情况下，峰值被偏移并且下降，并且旁瓣是描绘两侧的山的形状，并且形成图2的光谱。

​相等噪声带宽(Equivalent Noise
Band Width，小于或等于ENBW)是评估时间窗口功能特性的一个重要参数。这相当于FFT分析器的实际分辨率宽度，等效带宽将光谱的总能量标准化为主瓣峰值
。

.................................(3)

.................................(4)

方形窗口的ENBW是Δf本身，它是时间窗口长度T的倒数。数字频率
频率分析中的计算频率分辨率Δf称为频段(frequency bin或简称bin)
。

接下来，它是汉宁窗 (汉宁窗)，也出现在图3中。这是时间窗口长度T的开始
为了防止在开始和结束时波形的不连续，将剪切的时间波形扭曲，强制开始和结束。
在结束时间为0的时间窗口中，它是最常用的FFT分析器。

如果将汉宁窗的窗函数定义为表达式 (5)，则其光谱为表达式 (6) 。

.................................(5)

.................................(6)

汉宁窗的形状及其光谱如图6所示。

通过公式 (4) 求汉宁窗的ENBW;

.................................(7)

因此，汉宁窗的等效分辨率低于方形窗，但侧瓣
特性得到了很大改善，方形窗可以检测隐藏在侧瓣中的较小光谱
分量。
另外，与方形窗相比，时间窗前后的重量会变小，因此整体的力量
会减少。挂窗的功率与方形波窗的功率之比称为功率减少率
，由公式 (8) 定义。

汉宁窗的功率降低速率是3/8 (=-4.6 dB) 。

最后，平顶窗口 (flat-topwindow)的双曲余切值。方窗和汉宁
窗口等的光谱顶部不平坦。因此，正弦波等线谱结构
如图2中的示例所示，当分析具有构造的信号时，峰值将衰减。
为了防止这个而考虑的窗户是平顶窗户。

这个窗的制作方法，与时间窗函数相反，在频率轴上的峰值点尽量平坦
另外，在时间轴上形成公式 (2) 的形式，然后加上适当的窗函数。现在，
平顶窗口的近似时间函数如式 (9) 所示。

.................................(9)

平顶窗口的形状及其光谱如图7所示。

根据公式 (4) 和公式 (9) 计算此窗口的ENBW

...............................(10)

因此，平顶窗口的等价分辨率非常差，相邻的峰有多个。
虽然它不适合像这样的光谱分析，但它在主瓣上几乎是平坦的，因此它具有线谱。
适合读取Toru峰值。

实际的FFT分析器等效于在频率槽Δf间隔中按分析
行数L排列对应于所选时间窗滤波器形状的滤波器。

如图8所示，当时间窗口长度T不是输入信号周期的整数倍时，相邻
的滤波器之间出现下降，这称为Picket Fence效果。

图9比较了到目前为止讨论的三个过滤器的最大下降 (级别准确度) 。

表1总结了到目前为止的解释。

表1 FFT分析器中使用的代表性时间窗的种类和特征

对于FFT分析器中的时间窗口选择，一个非常粗略的说法是“过渡现象的波形
为方形窗，其他为汉宁窗”。

最后，总结一下。

1. 要对连续的时间信号应用离散傅里叶变换 (DFT)，必须对时间信号
   进行离散化和有限化。
2. 对于离散化，在对时间信号进行离散化 (采样) 之前使用抗-Ai
   混叠滤波器可以进行几乎正确的分析。
3. 对于有限化，
   需要在FFT之前应用最佳时间窗，以便尽可能减少误差。
4. 方形窗口是按时间窗口长度T截取的窗口函数，频率分辨率可以更
   ，但会出现很多旁瓣，不用于连续信号。
   适用于锤击试验等瞬态波形。
5. 汉宁窗是FFT分析器中最常用的时间窗，用于正常的连续时间信号。
6. 平顶窗口是一种时间窗口，用于在频率轴上提供最少的滤波器衰减，非常适合于不相邻线谱的峰值电平读取。

【关键词】
时间窗口、时间窗口、离散化、有限化、抗锯齿过滤器、时间窗口长度、
主瓣、侧瓣、泄漏误差、泄漏误差、方形窗口、矩形窗口、矩形窗口
波拉窗、卷积、等效噪声带宽、ENBW、频段、汉宁窗、功率降低
低百分比、平顶窗口、竖梃效果、标高精度

【参考资料】

1. “数字傅里叶分析 (I) -基础-”由Kenichi Shirodo 新冠公司 (2007年) 撰写
2. “如何使用简单的FFT分析仪”Yamaguchi·Ono编辑Ohm公司 (1994年)

(摘自2014年3月20日发行的电子邮件杂志)