在这里，我们将讨论Delta函数，它是扩展傅立叶变换和离散傅立叶变换的重要工具。在数学上可能多少有点缺乏严密性，请原谅。
重新列出傅立叶变换表达式。
公式 (1) 通过非周期时间函数x (t) 求其频谱X (f)，称为傅里叶变换;公式 (2) 通过频谱X (f) 求原始时间信号x (t)，称为逆傅里叶变换。要使表达式 (1) 和 (2) 具有有限的值，请确保x (t);
,来对图层特性管理器中的更改进行分组。
虽然单发脉冲波形和瞬态现象波形等可以计算傅里叶变换，但直流波形和正弦波信号波形等无穷无尽的信号无法满足上述公式 (3)，因此无法进行公式 (1) 的普通积分计算。
因此，定义一个Delta函数，其中:。
表达式 (4) 表示除某一点 (t=t0) 以外的所有值都为0,表达式 (5) 表示函数曲线下的面积为1 (图1) 。实际上，考虑如图2所示的宽度为a且高度为1/a的方形脉冲，可以将其视为在面积保持为1的情况下宽度a无限接近0的极限波形。
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图1 -
图2
通常，脉冲波形的宽度为0,高度为无穷大。
该函数由早期量子理论的主要参与者保罗·狄拉克发明，被称为狄拉克的δ函数，但在电路和控制系统中，它也被称为脉冲函数，因为它的形状。
公式 (4)、(5) 中t0=0;
δ(t)=0 t≠0
按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。
将该δ函数乘以任意的可微分的连续函数x (t)，在(-∞，∞)的范围内进行积分后，根据公式 (4) 和公式 (5) 的定义;
中所述修改相应参数的值。表达式 (8) 的意思是，delta函数是delta函数的一个重要属性，它在给定函数x (t) 的某个时间点获取该函数的值。
现在，让我们对增量函数进行傅里叶变换。利用公式 (8);
即，增量函数的傅里叶变换为1 (常数) 。直观地说，理想的脉冲波形频谱由无限的频率分量组成，其大小恒定。
相反，1的逆傅立叶变换;
公式 (11) 不能用一般的积分计算，但可以用超函数理论定义，
为delta函数。
也就是说;
通常作为增量函数的积分表示;
) 中被调用，将出现故障。此表示法对于傅里叶变换的计算非常重要。
为了便于理解，由于Cos波形为偶函数，因此在忽略负频率时，公式 (13) 表示从较低频率到较高频率的Cos波形相加将接近于脉冲波形。图3显示了这一点。
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图3使频率f发生变化的cos波形的合成波接近脉冲波形的情况
接下来考虑直流分量的傅立叶变换。
x(t)=a
Cos是偶函数，Sin是奇函数;
换句话说，方程 (14) 中直流信号 x(t) 的傅里叶变换为 a&(f)。这可以看作是一个频率为 0（直流分量）且振幅为 a 的脉冲。
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图4直流波形的傅立叶变换
考虑周期信号余弦波 (Cos波) 和正弦波 (Sin波) 的傅里叶变换。
x(t)=a cos(2π f0 t)
的傅里叶变换X (f) (使用欧拉公式变形);
,作为两个脉冲之和给出实数分量 (图5) 。
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图5余弦波 (Cos波) 的傅立叶变换
用同样的方式;
x(t)=a sin(2π f0 t)
的傅里叶变换X (f);
,作为两个脉冲之和给出虚数分量 (图6) 。
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图6正弦波 (Sin波) 的傅立叶变换
数字信号处理包括采样和离散连续信号。此时，此delta函数对于数学表达式非常有用。
最后，总结一下。
- 为了能够对直流波形和周期信号等无法用普通积分计算的波形进行傅里叶变换，用公式 (4)、(5) 定义脉冲波形那样的δ函数 (作为超函数而不是普通函数) 。
- Delta函数用于计算脉冲波形和傅里叶变换，如直流信号。
- 周期信号 (如正弦波 (余弦波) 信号) 的傅立叶变换可以表示为其频率分量中的脉冲 (增量函数) 。
【关键词】
Delta函数、狄拉克Delta函数、脉冲函数
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【参考资料】
- “光谱分析”日野干雄着朝仓书店
- “快速傅立叶变换”E.ORAN BRIGHAM著科学技术出版社
- “数字傅里叶分析 (I) -基础-”由Kenichi Shirodo 新冠公司撰写
(摘自2012年9月22日发行的电子邮件杂志)
