基于基础的频率分析 (2) -“傅里叶级数展开”

信号处理的基本技术是傅里叶变换，但这次我们将讨论作为其基础的周期函数的傅里叶级数展开。

我第一次想到傅里叶级数是拿破仑时代的法国数学家和物理学家约瑟夫·傅里叶，顾名思义。据说，他在19世纪初提出了关于固体热传导的热传导方程，并想出了解决微分方程的方法。

傅里叶的基本思想是大胆的，“无论怎样复杂的周期时间函数，都可以用其基本频率及其整数倍频率的三角函数(正弦波、余弦波)的和来表示。”。即使当时法国数学学会最大的拉格朗日似乎也拒绝发表反对这一想法的论文。目前，它不仅是电磁，光学，声振动，通信，图像处理，量子力学等物理和工程，也是经济学不可或缺的基础技术。

设x (t)为周期T的周期函数，其基频f ₀和基角频率ω ₀ 为;

.................................(1)

x (t) 的傅里叶级数展开;

.................................(2)

.................................(3)

中所述修改相应参数的值。这里，虽然有公式 (2) 的两边是否真的相等的疑问，但是在我们处理的通常的时间信号中，通过将n设为∞，已经证明了能够与x (t)一致。

现在，如何计算表达式(2)右侧的系数a _n 和b _n ，由于三角函数的正交性，这很容易计算。

三角函数的正交性是指将 n 和 m 设为任意整数，则;

.................................(4)

.................................(5)

) 中被调用，将出现故障。

式 (2) 的两边乘以cosn ω ₀ t和sinn ω ₀ t分别以周期T进行积分;

.................................(6)

.................................(7)

.................................(8)

公式(2) (或公式(3) )称为周期函数x (t)的傅里叶级数展开，a _n 和b _n 称为其傅里叶系数。

公式(2)既包含正弦波又包含余弦波，而且三角函数的计算相当麻烦，因此多变形为复指数表示来使用。

从上次解释的欧拉公式;

.................................(9)

将代入公式 (2);

....(10)

现在，我要说的是，;

...............................(11)

然后，公式 (10);

...............................(12)

它可以非常简洁地表达。
另外，由于与e ^{jn ω0 t}三角函数同样具有正交性的性质，因此在式 (12) 的两边乘以e^{-jn ω0 t}，通过周期T进行积分;

n=0、±1、±2、

...............................(13)

式 (12) 称为复傅立叶级数展开，式 (13) 的c _n称为复傅立叶系数。此外，c _n和c_-n是复共轭关系。

如傅里叶级数展开式所示，由于式 (2) 可变形为式 (3)，显然是由基本角频率ω ₀及其整数倍的角频率nω ₀组成的余弦波的合成，但式 (12) 不那么直观。

在公式 (12) 中，复指数函数e ^{jn ω0 t}表示以角频率nω ₀沿正方向 (逆时针) 绕原点旋转的向量，而e^{-jn ω0 t}表示以角频率nω0沿负方向 (顺时针) 绕原点旋转的向量。c _n和c_-n分别表示向量的初始向量 (时间t=0) 。

正向和负向向量相对于实数轴对称，因此合成向量必须只存在于实
数轴上，即实数三角函数。公式 (12) 的右侧x (t) 表示其合
成向量之和。负方向的旋转矢量表示负的频率成分，
通过允许负的频率成分的存在，将实数的时间波形表示为复数
。在表示实数正弦波和余弦波的公式 (9) 的欧拉公式中，
也很明显。

傅里叶级数展开是将通常的时间函数分为频率成分，即将时域表示变换为频率
数域表示，因此两种表示包含相同的信息。在此，将公式 (2)
的两边平方，用周期T求平均值;

（14）

正交的特性使右边的计算变得简单;

................................... （15）

按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。时间和频率之间的关系式通常称为珀塞瓦定理。

公式 (15) 的物理含义是:左边是2次方平均值，右边是每个频率分量系数的2次方值
(称作功率) 的合成和。在FFT分析器中，右侧表示分析的功率
频谱的整体值 (总功率) (当然，n的值是有限的
)，表示功率频谱的整体值等于原始时间波形的均方
值 (有效值的平方) 。

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【参考资料】

1. “信号处理”Iwao Morishita, Hidehide Obata共同撰写测量自动控制学会
2. “光谱分析”日野干雄着朝仓书店

(摘自2012年3月23日发行的电子邮件杂志)