技术报告关于FFT分析器4

那么，谐波k可以计算到什么程度?

要获取原始波形，必须以至少两倍于波形频率的频率进行采样。这称为抽样定理。现在考虑周期T的波形中采样数为N个的情况。此时，采样时间h及其频率f _s;

(公式3-18)

因此，采样定理可以分析的频率f _m;

(公式3-19)

即，直到第N/2次谐波。

用f _s对限制为0到f _m的波形进行采样并计算DFT,得到频率为-∞到+∞的频谱。图3-6给出了频率范围从-f _m到4f _m的频谱示意图。

正如您在此图中看到的那样，得到的频谱重复相同的值，就像信件是f _m的整数倍一样。另外，即使对从f _m〜2f _m受到频带限制的波形使用相同的f _s进行采样并进行DFT,也同样如图3-6所示，在计算上求得实际上不存在的0〜f _m的分量。这称为区域现象 (折返失真)，此时的f _m称为奈奎斯特频率。只观察得到的光谱的0〜f _m时，无法判断原波形是0〜f _m还是f _m〜2f _m。因此，在FFT分析仪中，通过预先限制为f _m的低通滤波器 (称为区域滤波器)，确定小于f _m的信号，以满足采样定理。此外，由于需要考虑f _m +α的频率以获得该低通滤波器充分衰减的频率，因此FFT分析器仅显示高达f _m的1/1.28的光谱 (图3-7) 。

由于没有施加区域化滤波器，所以时间波形是原来的矩形波，而FFT的结果是产生区域化滤波器，出现了原来没有的频率成分。

这个故事变得非常复杂和数学，但你能理解到目前为止的内容吗?

在这里，我想从FFT分析器的角度组织傅里叶级数，转换，DFT和采样，并加入一些形象的概念。我将引用Kenichi Shito的“数字信号处理简介”并解释它。

请参阅图3-10。“A”波形是无限重复的时间波形，其被限制在奈奎斯特频率fm以下，并且对于“A”的频谱，获得“B”，其以原点为中心分布在±fm处，并且在该范围之外为零。其次，“B”的光谱X (f) 在频率轴上以2fx的周期无限排列，设其为X (f) 。;

图3-10

fx=fm时，“C”的光谱波形

当 fx < fm 时，频谱波形为“D”。

当 fx > fm 时，频谱波形为“E”。

) 中被调用，将出现故障。这里，光谱波形“E”是光谱交迭和区域发生。此外，在光谱波形“C”和“D”中，在-f _m到+f _m的范围内，光谱X (f) 与x (t) 相同。从另一个角度考虑采样列x _n，其中x (t) 以2f _x采样。此时的x _n光谱;

(公式3-20)

它是C D E的表达式。即，用2f _x对受f _x频带限制的连续波形x (t) 进行采样，根据其无限的采样序列{x _n}的数据求频谱X (f)，观察其-f _x〜+f _x的频率范围时，就是x (t) 的频谱X (f) 本身 (“C”“D”) 。
将X (f) 进行傅里叶逆变换得到x (t)，因此每1/ (2f _x) 的样本值序列有足够的信息来表示连续波形x (t) 。如果原始波形的频率高于采样频率，则由于区域划分，产生重叠的光谱，如“E”，这与X (f) 不同，因此x (t) 不能再现。

到目前为止，我们讨论的是傅里叶变换。接下来，如果“A”的波形在周期T中无限重复，例如“F”，则通过傅里叶扩展波形获得的频谱是在频率轴上以1/T的间隔排列的频谱。该波形的频率成分被限制在f _x以下，形成如“G”的光谱，该线谱的包络线为“B”的连续光谱。将“G”的光谱与“C”“D”同样考虑以2fx的周期无限重复的光谱“H”，将“H”进行逆傅立叶变换后的时间波形如“I”所示，成为周期T无限重复的样本值系列。换句话说，时间波形和光谱都是无限重复的周期性采样序列。此关系由公式3-16和3-17中的DFT和IDFT表示。公式3-16、3-17中的;