技术报告关于FFT分析器5

本节将计算实际时间波形中一个周期的傅里叶级数。

下图3-9所示为根据采样数N=12的1周期波形数据计算k=2的2次谐波的傅里叶系数的步骤，以及进行同样的计算至k=0~6 ^*所得的该波形的傅里叶级公式3-20。(※:根据抽样定理，在样本数N=12的情况下，可分析的谐波阶f _m =6)

下面的图3-10显示了当采样数据是周期T=Nh=0.02秒 (ω ₀ =50 Hz) 时FFT分析器显示的数据。

通过这样的手动计算，即使最多12个采样数据也需要花费大量时间。FFT分析器采用将N取2 ⁿ的FFT方法(例如1024=2 ¹⁰)，可在短时间内完成上述计算，并将数据保存到内存中，通过显示时间轴波形和频谱等波形，将输入波形的各种特征传达给我们。

傅立叶系数a ₀、a _k、b _k为:

二次谐波计算表

根据上表，k=2时的傅立叶系数;

a ₀ =133/12=11.08, a ₂ =2/N∑x (n) cos (2n) =2.83

) 中被调用，将出现故障。在k=0~6之前进行同样的计算，可以求出下式。

(公式3-20)

图3-10

在使用FFT分析器实际分析简单波形的同时，让我们来看看与前面解释的FFT和FFT特征的关系。

下面的数据1是分析1个原始波形的结果，其特征在10 kHz的频率范围内未知。相对于原波形，采样时间较短，因此用时间轴表示时，可以细致观察到原波形，而频率轴的频率分辨率不够，因此出现频谱相互连接的状态 (包络线) 。

此时频域的X轴与频率范围的关系可计算如下。

以时间轴分辨率ΔT=约0.039 ms为间隔对原波形进行采样的2048个点的数据显示80 ms,其为基频T。

DFT时间波形显示从0 Hz到10 kHz的800光谱数据每12.5 Hz。

12.5 Hz是基频80 ms的倒数 (1/T) 。下表总结了样本数，数据长度和频率分辨率之间的关系，供您参考。

抽样点数	数据长度T (秒)	频率分辨率1/T
256
512
1024
2048
4096

<f:频率范围>

接下来请看数据2。这是在1kHz频率范围内分析与数据1相同波形的结果。虽然时间轴分辨率变差，但是^*，相反频率分辨率提高到1.25 Hz,因此能够详细读取基波10 Hz的奇数倍的谐波成分。结果显示原始波形是10 Hz的矩形波。(*注:与信号频率相比，采样频率足够高，因此时间轴波形没有明显恶化。)

让我们看一下数据3,在相同的数据波形中，采样点数为1/4=512个点，频率范围为1 kHz,类似于数据2。对于数据2,数据长度从800 ms减少到200 ms,因此频率分辨率变为5 Hz,即1 kHz的1/200,并且出现不确定性。

虽然我们在数据1~3的每个频谱波形 (底部) 中显示了50 Hz的频谱值，但您可以看到它们几乎相同。这表明DFT频谱的包络线与原始波形的频谱一致，如前一期图3-10中的G所述。