技术报告关于FFT分析器3

在上一期中已经说过，时域中周期性变化的波形可以用傅里叶级数表示。在本节中，我们将使用傅里叶级数-傅里叶变换来实际表示这些周期波形。

首先，让我们考虑前一期图1-1中的“A”音。“A”的声音可以分解为“A ₁”，“A ₂”，“A ₃”...。并且，“A ₁ ”的波形是具有相位差的Cos波，如前项所说明的那样:

) 中被调用，将出现故障。同样，“A ₂ ”和“A ₃ ”也是:

按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。

因为“A”音x (t) 是“A ₁”、“A ₂”、“A ₃”.....的合成波:

其中，f ₁、f ₂、f ₃、.。a ₁、a ₂、a ₃.。b ₁、b ₂、b ₃、...将分别整理为f _n、a _n、b _n、(n=1,2,3, ...∞):

(公式3-1)

按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。

我想你会发现这个表示“a”的表达式3-1与下面列出的傅里叶级数的表达式3-2非常相似。“一”的成分f ₁、f ₂、f ₃、.。设基频为f ₀，f ₁ =f ₀，f ₂ =2f ₀，f ₃ =3f ₀，.。，第一，第二，第三。谐波 (f ₀的整数倍) 。在前号图1-2“A”的分析例中，取T=160 ms (f ₀ =6.25 Hz)，因此，图中的f ₁ =106.25 Hz=17 f0 (第17谐波)、f ₂ =34 f ₀、f ₃ =51 f ₀。f ₁、f ₂、f ₃、.。不属于的谐波可以被认为是与“A”不同的信号元素，例如暗噪声。

从这里可以看出，我们从上一期2-2开始看到的思维方式是傅里叶级数本身。我们来看看这个傅里叶级数的定义公式。

对于在时域中周期性变化的波形，如果将波形的周期设为T,

基频f ₀ =1/T

基本角频率ω ₀ =2 π f ₀

,可表示为傅里叶级数:。

(公式3-2)

在此，使用前号2-6项的Cos、Sin的乘法及其面积，可以求出式3-2的各成分。

(公式3-3)

a ₀是直流分量，a _n和b _n是角频率为nω ₀的Cos波和Sin波的振幅，称为傅里叶系数，另外，a _n和b _n为一组，称为傅里叶系数对。

让我们总结一下。

公式3-2的解释如下:。

nω ₀ t (n=1,2,3, ...∞)是基本角频率ω ₀的1倍、2倍、3倍、......的谐波，其nω ₀ t分量的波形是

表示，此时的傅里叶系数a _n、b _n由公式3-3求出。另外，根据下图3-1所示的a _n与b _n的关系，式3-3可以表示如下。

(公式3-4)

其中r _n、φ _n分别为第n次谐波的振幅及相位。

FFT分析器将作为计算结果的傅立叶系数a _n、b _n存储在存储器中，根据a _n、b _n计算频率f _n的振幅r _n和相位φ _n。作为该运算的结果，频谱表示表示表示频率f _n与振幅r _n之间的关系，并且类似地，相位频谱表示表示频率f _n与相位φ _n之间的关系。另外，a _n、b _n能够使用式3-2返回时间波形。另外，由于光谱只是大小的量 (没有相位信息<φ>)，仅凭光谱数据无法恢复到原来的波形。FFT分析器的一个功能是从傅立叶变换数据中获取时间波形 (逆傅立叶变换)，此方法要求存储包含相位信息的傅立叶频谱 (由实数和虚数组成) 。此外，如果您记住原始波形，它还具有从此数据再次执行FFT的功能。

*实数部分和虚数部分将在下一节中介绍。

在通过FFT分析器进行演算、处理的各种函数中，显示傅里叶频谱和传递函数等时，会出现“真实部分”、“想象部分”等表现。这是用复平面 (高斯平面) 表现傅里叶级数时出现的，是函数表现的一种方法，各部分均具有重要意义。在本节中，我们将使用欧拉公式将傅里叶级数转换为复指数函数表示，并解释“真实部分”和“假想部分”的概念。

这有点困难，但请只了解下面的图3-3。关于复数和指数，我们不会在这里详细解释，所以如果您有兴趣，请参阅专业书籍。

欧拉公式是:

(公式3-5)

在欧拉公式中，n、e和j分别代表;

n:圆周率3.141592 ....

e是自然对数的底数，e=2.71828...。e ^t无论微分还是积分均为“e ^t ”d/dt (e ^t) =e ^t

j:j ² =-1的值

如您所知，数字有实数和虚数，不带j的数字称为实数，带j的数字称为虚数。
在复平面 (高斯平面) 上，复数Z=1+1 j如图3-2 (a) 所示。另外，X=e ^jnωt如图3-2 (b) 所示在复平面上表示半径=1的圆，随时间在逆时针方向 (正方向) 以每秒nω的速度 (角速度) 旋转。这表示Cos和Sin两个表达式在1个表达式中表示前一公式2-7和8中球的轨迹。同样，Y=e^-jnωt以顺时针方向 (负方向) 旋转。X和Y是关于实数轴 (Re轴) 对称的关系，其中Y是X的共轭复数，X是Y的共轭复数。共轭复数以“*”开头，例如Z ^*。

将上式3-5代入傅里叶级数式3-2、3-3整理为:

(公式3-6)

按钮，将选定控件在Tab键次序中下移一个位置。在此，注意 (a _n-jb _n) 和 (a _n +jb _n)，X ₀、X _n、X _n^*分别为:

,公式3-6为:

(式3-7)

(公式3-7a)

(公式3-7b)

(公式3-7c)

来删除它。

考虑上式3-7b中n=0的情况，根据e ⁰ =1,式3-7b的右边与式3-7a的右边一致，因此n为n=0~∞，式3-7可如下改写。

(公式3-8)

另外，设式3-7c的n为n=-1~-∞，则与式3-7b的右边 (n=1~∞) 一致，因此X _n^*可作为X _n的n=-1~-∞处理。因此，综上所述，式3-7、7a、7b、7c为:

(公式3-9a)

(公式3-9b)

,可以用非常清爽的形状来表示。

公式3-9a称为复指数表示的傅里叶级数，公式3-9b称为复指数表示的傅里叶展开。

欧拉公式e ^jnω0t和e^-jnω0t由Cos和Sin组成，因此它继承了我们迄今为止看到的Cos和Sin的周期性并具有指数性质。将e ^jnω0t或e^-jnω0t分别替换为Cos、Sin,例如，将式3-9b替换为Cos,则相当于式3-3的a _n的式，另外;

根据的关系式，将傅里叶系数的Cos项和Sin项看作复数表示的实数部分和虚数部分，这样就更容易理解傅里叶级数与其复数表示的关系 (比较图3-1和图3-3) 。

那么，此时的k谐波表示如下。

(公式3-10)

X _k^*是X _k的共轭复数，如果用实数部分 (Re) 的复坐标表示横轴，用虚数部分 (Im) 的复坐标表示纵轴，则如图3-3所示，对于Re轴对称。

图3-3可与前项第2-6项图2-9同样考虑，因此下式3-11成立。

(公式3-11)

此时，X _k称为傅里叶频谱，1/2a _k称为傅里叶频谱的实数部分 (Re:Real Part)，1/2b _k称为同虚数部分 (Im:Imaginary Part)，|X _k | ²称为功率频谱。请注意，FFT分析器的傅立叶频谱显示a _k和b _k，功率频谱显示4|X _k | ²。这是因为在图3-1中用r _n、a _n和b _n表示时很方便。

公式3-9a是傅里叶级数，它表示“某一波形周期地连续”的时间波形。将公式3-9b替换为此公式，得到公式3-12 (另外，为了便于计算，这里将波形的0~T置换为-2/T~2/T。):。

(式3−12)

考虑将周期T从-∞扩展到+∞，以便它可以处理非周期性波形。在公式3-12中，将1/T的T增大为极限的非常小的频率df:

(公式3-13)

上式中{}内为X (f) :

(公式3-14)

(公式3-15)

公式3-14表示傅立叶变换，公式3-15表示逆傅立叶变换。在傅立叶变换公式3-14中，1/T消失。但是，如果我们将其移动到公式3-15的逆傅立叶变换侧，我们可以看到这对傅立叶变换-逆变换对应于前面公式3-9中的一对傅立叶展开-级数。式3-14和式3-15很相似，所以请不要弄错。X (f) 代表频域，x (t) 代表时域。
注意，在傅里叶级数中，频谱以跳跃谐波表示，而在傅里叶变换中，基频f ₀ (=1/T) 非常小，因此频谱具有连续频率。

考虑x (t) =1的傅里叶变换。在一个无穷大的1值中，我们将剪切一段时间的T,然后将其视为零 (0) 并尝试进行傅里叶变换。图3-4显示了T=1和T=5的情况。预期为图3-4a,但与图3-4b相比有很大差异。然而，随着T值的增加，波形宽度变窄，振幅值也增加，并且类似于图3-4a。这种差异的产生是因为不可见部分被任意地设置为0,当然，更大的T更清楚地显示整个波形的特征。从这里可以看出，在傅里叶变换中，剪切波形的时间T (称为时间分辨率) 越大，频率分辨率 (=1/ T) 越高，能够获得详细的光谱，但是相反，如果剪切波形的时间较小 (时间轴分辨率高)，频率分辨率则变得粗糙，只能获得概略的光谱。因此，傅里叶变换在时间分辨率和频率分辨率之间具有不确定性。在FFT分析器中，此时间长度T表示数据长度 (样本数)，可根据需要进行更改。