技术报告关于FFT分析器11

基于以上理论，请考虑FFT和窗函数。现在，让我们考虑一个区域，其中FFT分析器采样复杂的连续波形，截取n=1024或2048个点的数据部分，并将其设置为1个周期T。假设周期T中的波形无限重复，则执行FFT计算。此连续波形的FFT值取决于要剪切的波形位置。

让我们考虑一下sin波形。

由于图7-1被截断为与sin 2πf ₀波的周期相匹配，因此假设的波形与原始sin波形相同，并且频谱中仅出现频率f ₀的分量。

下面的图7-2显示了与sin波形周期不匹配的情况。在这种情况下，假定的波形是一个间断点，在周期T处从f (a-0) 快速变为f (a+0) 。

以这种方式在短时间内切割的波形将是不同的波形，而不是sin2πf ₀的原始波形。因此，如图7-2所示，该波形可能具有除f ₀之外的许多频率分量。

让我们看一下图7-2的另一部分。

从n=2048点的有限采样序列计算有限近似光谱。对该有限近似光谱进行逆傅立叶变换后的波形与原来的波形近似到什么程度呢?对于图7-2中被剪切的原始波形，不连续的起点和终点在哪里连接 (收敛)，它在f (a-0) 和f (a+0) 的中点处像虚线一样平滑地连接。这是根据以下定理得出的，即积分的性质，对于傅里叶变换和逆变换的积分公式。

《当某个函数f (t) 在a处具有不连续点时，将从左侧接近不连续点时的收敛值设为f (a-0)，将从右侧接近时的收敛值设为f (a+0)，则积分值向其平均值收敛。》

如图7-3所示，以1个周期为圆重新绘制实线和虚线。在傅里叶逆变换中，周期T旋转1次，轨迹变为相同的轨迹。

虽然像这样都是sin2πf ₀ t的sin波形的FFT,但是根据剪切方法的不同结果也不同的话会很麻烦。

在FFT分析器中，周期T是固定的，并且由于它对周期未知的信号执行FFT,因此不可能如图7-1所示始终成功地剪切。因此，如图7-2所示，必须设法防止起点和终点不连续。作为一种聪明才智，“逐渐缩小剪切波形的起点和终点，乘以起点和终点为零的加权函数。”怎么样?这样的函数之一是被称为汉宁窗口的函数，将该加权函数乘以截取的sin波形后，如图7-4所示，反复的连续波形被假定，其频谱也以频率f ₀为主出现。通过挂上汉宁窗，可以减少剪切位置的影响。

因此，权重函数称为时间窗(time window,时间窗函数)。

接下来，让我们看看经常使用的时间窗口，引用Kenichi Kodo的“数字信号处理简介”。

我们以实际使用的时间窗函数w (t) 为例来看看它的特征。要执行此操作，请考虑当时间窗函数w (t) 乘以时间波形x (t) 时原始x (t) 的光谱如何变化。

f (t) ←→F (f)，w (t) ←→W (f)

f (t) 和w (t) 的乘积x (t) 的傅立叶变换X (f) 为:

(公式7-1)

公式7-1表示f (t) ·w (t) 2个函数乘法的傅立叶变换在频域中为各个函数F (f) *W (f) 的卷积积分。理想的窗函数 (其中W (f) 在频域中为1,f=0;否则为0) 在时域中是一个窗函数，其中t在-∞到+∞之间取值为1,这是不实用的。由于FFT被称为有限长度采样数，因此使用的窗函数也是有限长度，并且该频谱具有窄的频率范围。