技术报告衰减特性系数2

前面介绍了如何在振幅呈指数衰减的前提下计算阻尼比和损失系数，下面简要介绍阻尼比在实际振动中的物理意义。由于损耗因子和Q值可以通过衰减比轻松转换，因此我们将重点关注衰减比。

自由振动是“不施加外力的状态”下的振动。它将永远保持静止，但如果给出初始位移或初始速度作为初始条件，它将开始振动。例如，以图4所示的弹簧量模型为例，首先拉动质量m，使弹簧k产生位移 (初始位移)，然后突然松开，开始振动，这就是自由振动。

在没有衰减力c的情况下，自由振动永久持续，此时的振动频率ω ₀由下式表示。

  （11）

ω ₀称为固有频率。正如经验所知，这种自由振荡实际上并不是永久持续的，衰减力c起作用，振幅逐渐减小并最终进入静止状态，如图1所示。行为取决于c的值是大于还是小于c _c表达式:。

  （12）

c _c称为极限衰减率，c _c与c之比就是本文的主题ζ (衰减比) 。

  （13）

如上所述，自由振动的振幅根据ζ的值变化很大。图5提供了一个示例。

ζ <1的衰减自由振荡的振幅由下式表示。

  （14）

其中:

x ₀:初始位移
v ₀:初始速度

​ω _d称为阻尼系统的固有频率，表示为:。

  （15）

ω _d比ω ₀略小，但在实际振动系统中，ζ的值较小，因此ω _d接近ω ₀。由式 (14) 可知，衰减振动系统的行为由初始条件和衰减比ζ决定。图5显示的是初始速度为0、初始位移为1时，衰减比ζ的差异引起的响应情况。由图可知，根据衰减比ζ，行为有很大差异。

另外，ζ ≥1时，不能用公式 (14) 计算，采用其他公式。为了进行比较，图5显示了一个响应，但此处省略了该公式。顺便提一下，ζ =1的状态称为临界衰减，ζ >1称为过衰减，1> ζ >0称为衰减不足。过阻尼和临界阻尼是阻尼运动，没有振动。为了清楚起见，在图5中强调了ζ =1 (临界衰减)，但这仅表示是否振动的边界，并不意味着临界衰减非常重要。

还给出了ζ =0.707 (=1/√2) 时的响应，这是下一个稳态振动的重要值。此外，虽然存在一些过冲 (未及冲)，但它也是控制系统等重视响应时间的情况下常用的值，用作整定时间 (响应收敛到目标值的5%以内的时间) 最短的值。

接下来，考虑从外部连续施加力到自由振动系统的情况。

外力作用时的振动称为强制振动，外力为正弦波，施加外力后经过充分时间的状态 (稳定状态) 下的振动称为稳定振动。与此相对，从施加外力到稳定状态的经过称为瞬态，这将在下一节中说明。

如图6所示，考虑向1自由度振动系统施加F cosωt的加振力的模型。

首先重新确认符号和表达式。

  （11）

由于激振力是频率ω的重复力，因此由其驱动的稳定振动也是相同频率的振动。但是，振幅和相位是不同的，因此我们要确定振幅和相位。

图6系统的运动方程如下式所示，通过求解该方程，可以得到稳态振动的振幅和相位。

  （16）

稳定振动方程;

  （17）

振幅x _a和相位φ由以下公式表示:。

  （18）

  （19）

式 (18) 中，F/k是施加静态力F时的静态位移量，将其设为x _s，式 (18);

  （20）

) 中被调用，将出现故障。换句话说，稳态振动的振幅表示为静态位移量x _s、固有频率ω ₀和衰减比ζ的频率响应函数。

并且变换式 (20) 。;

  （21）

称为振幅放大率。图7以对数表示，横轴为ω/ω ₀，纵轴为振幅倍率。这表明稳态振荡在ω ₀附近谐振，振幅放大率随阻尼比ζ变化很大。

振幅放大率的特点总结如下:

ζ < 1/√2的双曲余切值。ω _r = √1-2 ζ ² ω _o 作为共振频率的共振点。共振频率ω _r是ζ值越大，阻尼系数越低。ζ小于 (大约ζ <0.05) 包括: ω _r ≒ ω ₀即，以固有频率谐振。ζ ≧ 1/√2那么就不共振了。

振幅倍率在共振频率下最大。

  （22）

ζ小时;

  （23）

,等于Q值。ζ小的情况下，即共振尖锐的情况下，多采用Q值。

在低于共振点的频率下，振幅倍率逐渐接近1。
在高于共振点的频率下，振幅倍率渐近为1/ (ω/ω ₀) ²，即-40 dB/decade的斜率。

式 (19) 表示的是加振力与稳态振动的相位差。如图8所示。

现在我们可以看到;

在激振力的频率低于ω ₀的频率区域中，稳态振动的相位延迟渐近于0deg,即以稍晚于激振力的相位振动。

在比ω ₀高的频域中渐近180 deg,即以接近与激振力的反相位振动。

对于ω=ω ₀，延迟90 deg,即1/4周期振动。

ζ小时，在ω ₀附近相位突变，随着ζ变大，变化平缓。

前项的稳定振动考虑的是施加外力后经过充分时间的状态，接下来考虑从施加外力时到稳定状态的状态，即过渡状态。

考虑到图6的振动系统，其运动方程式为公式 (24) 。在此，为了便于理解，将外力设定为F sinωt，初始条件设定为完全静止，即初始位移和初始速度设定为零。

  （24） 

这个系是线形的，所以重合的道理成立，解是通过之前看到的外力引起的振动成分和自由振动成分之和的形式得到的。

  （25） 

在这里;

  （26）

  （27）

方程 (25) 中的第1项是自由振荡分量，它随时间衰减，最终只剩下第2项中的稳态振荡分量。图9中的1到4显示了这种情况。这里，ζ =0.01表示将ω/ω ₀改变为0.1、0.9、1.0、2.0时的瞬态响应的变化。

当ω/ω ₀小时，自由振动仅与稳定振动重叠，自由振动随着时间的经过而衰减并转移到稳定振动。

可以看出，当ω/ω ₀接近1,即激振频率接近固有振动频率时，振幅增大，同时产生咆哮。

ω/ω ₀ =1即，当激振频率与固有振动频率一致时，振幅几乎与时间成比例地增大，达到非常大的振幅，即，处于共振状态。

在ω/ω ₀ >1中，振幅变小，但是呈现复杂的波形。

在这里，为了更容易地显示瞬态，设定了ζ =0.01的较小值，但如果ζ较大，在自由振动快速收敛的同时，稳定振动的振幅也变小。振幅如图7所示。相反，如果ζ很小，瞬态很难适应，不稳定状态将持续很长时间。稳态振荡的振幅也增加，特别是在ω/ω ₀ =1附近的频率下，即使开始时很小的振荡，振幅也会随着时间的推移逐渐增加，并且会变成非常大的振荡。(注意图9-1~4中的垂直轴比例不同)